Chủ đề này có 3 trả lời

[vuthanhtu_hd]

Bài toán dưới đây mình mới sáng tác ,câu a)đã giải quyết xong còn câu b) cho tới nay mình vẫn chưa có câu trả lời
Vì vậy rất cần mọi người góp ý :
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=2$.
a) Chứng minh rằng nếu số lớn nhất trong ba số $a,b,c$ không nhỏ hơn 1 thì ta có :
$a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a \leq\dfrac{32}{27}$. Đẳng thức xảy ra khi nào?
b) Nếu cả ba số a,b,c đều nhỏ hơn 1 thì BDT còn đúng không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 10-05-2008 - 16:12

[vuthanhtu_hd]

câu a) tương đối hay nhưng không quá khó,còn câu b) mình vẫn chưa tìm được phản thí dụ,cũng chưa cm được...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 10-05-2008 - 16:16

[vuthanhtu_hd]

Trời ạ ! Sao mãi mà chẳng thấy ai cho ý kiến gì cả?

[dduclam]

Bài toán dưới đây mình mới sáng tác ,câu a)đã giải quyết xong còn câu b) cho tới nay mình vẫn chưa có câu trả lời
Vì vậy rất cần mọi người góp ý :
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=2$.
a) Chứng minh rằng nếu số lớn nhất trong ba số $a,b,c$ không nhỏ hơn 1 thì ta có :
$a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a \leq\dfrac{32}{27}$. Đẳng thức xảy ra khi nào?
b) Nếu cả ba số a,b,c đều nhỏ hơn 1 thì BDT còn đúng không?

Mình ko định vào nhưng thấy ko có ai trả lời giùm bạn vuthanhtu cả nên nán lại ít phút ở đây

Bạn vuthanhtu thân mến! Bài toán và 2 câu hỏi mà bạn nêu ra thực ra rất cũ. Mình ko muốn bạn buồn nhưng chỉ cần đổi biến $3a=2x,3b=2y,3c=2z$ thì ta đc bài toán quen biết sau:

Bài toán 1: Cho $x,y,z$ ko âm có tổng bằng 3. Chứng minh $x^2y+y^2z+z^2x\le 4 $

Thế nên BĐT mà bạn nêu ra là đúng với mọi $a,b,c$ ko âm có tổng bằng 2 chứ ko nhất thiết cần thêm ĐK "số lớn nhất trong ba số $a,b,c$ không nhỏ hơn 1"

Một kết quả mạnh hơn Bài toán 1 và có nhiều ứng dụng là:

Bài toán 2: Cho $x,y,z$ ko âm có tổng bằng 3. Chứng minh $P=x^2y+y^2z+z^2x+xyz\le 4 $

Từ Bài toán 2 ta suy ra kết quả Bài toán 1. Và cả hai bài toán trên có thể chứng minh khá dễ dàng bằng nhiều cách. Có 1 cách khá ngắn gọn và quen thuộc là giả sử y nằm giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất trong 3 số $x,y,z$,thế thì

$z(x-y)(y-z)\ge 0 \Rightarrow P\le y(x+z)^2=\dfrac1{2}.2y(x+z)(x+z)\le\dfrac1{2}.(\dfrac{2(x+y+z)}3)^3 = 4$

Đẳng thức xảy ra tại $x=2,y=1,z=0$ hoặc các hoán vị.

Bạn tham khảo thêm ở đây : http://www.mathlinks...ic.php?t=196510
và http://diendantoanho...showtopic=39916