Chủ đề này có 5 trả lời

[L_Euler]

Cho 2 số dương a, b. Chứng minh rằng:
$\dfrac{{\left( {1 + a^2 b} \right)\left( {1 + b^2 } \right)}}{{\left( {a^2 - a + 1} \right)\left( {1 + b^3 } \right)}} \le 2$

Hình gửi kèm

• 
• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khongtu093tk: 18-05-2008 - 16:33

[Lity124]

TH 1:$ a;b \geq1 $ hoặc$a;b \leq1 $.Ta xét hiệu :

$(1+a^3)(1+b^3)-(1+ab^2)(1+a^2b)=(a+b)(a-b)^2 \geq0 $
$2(1+b^2)-(1+a)(1+b^2)=(b^2-1)(a-1) \geq0 $

$ \Rightarrow2(1+a^3)(1+b^3) \geq2(1+ab^2)(1+a^2b) \geq (1+a)(1+b^2)(1+a^2b) \Rightarrow$ đpcm
TH 2:$a \geq 1 \geq b$ hoặc $a \leq 1 \leq b$. Biến đổi tương đương ( nhân chéo ) ta có :

BDT $\Leftrightarrow(b^3+1)(a-1)^2+(b+a)(b-a)(b-1) \geq0 $.Điều này đúng !
ĐPCM

[L_Euler]

TH 1:$ a;b \geq1 $ hoặc$a;b \leq1 $.Ta xét hiệu :

$(1+a^3)(1+b^3)-(1+ab^2)(1+a^2b)=(a+b)(a-b)^2 \geq0 $
$2(1+b^2)-(1+a)(1+b^2)=(b^2-1)(a-1) \geq0 $

$ \Rightarrow2(1+a^3)(1+b^3) \geq2(1+ab^2)(1+a^2b) \geq (1+a)(1+b^2)(1+a^2b) \Rightarrow$ đpcm
TH 2:$a \geq 1 \geq b$ hoặc $a \leq 1 \leq b$. Biến đổi tương đương ( nhân chéo ) ta có :

BDT $\Leftrightarrow(b^3+1)(a-1)^2+(b+a)(b-a)(b-1) \geq0 $.Điều này đúng !
ĐPCM

Thực ra mình làm ra đến $\Leftrightarrow(b^3+1)(a-1)^2+(b+a)(b-a)(b-1) \geq0 $ rồi, nhưng không biết chứng minh nó lớn hơn hoặc bằng như thế nào cả! Giúp mình với!

[vuthanhtu_hd]

Thực ra mình làm ra đến $\Leftrightarrow(b^3+1)(a-1)^2+(b+a)(b-a)(b-1) \geq0 $ rồi, nhưng không biết chứng minh nó lớn hơn hoặc bằng như thế nào cả! Giúp mình với!

Cái đó đơn giản mà :
Với $a \geq 1 \geq b>0$ thì ta có $b^{3}+1 >0,b-a \leq0 ,b-1 \leq 0$ nên $(b-a)(b-1) \geq 0$.Suy ra $(b^3+1)(a-1)^2+(b+a)(b-a)(b-1) \geq0$
Với $0<a \leq 1 \leq b$ tương tự!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 20-05-2008 - 17:14

[tuan101293]

Cho 2 số dương a, b. Chứng minh rằng:
$\dfrac{{\left( {1 + a^2 b} \right)\left( {1 + b^2 } \right)}}{{\left( {a^2 - a + 1} \right)\left( {1 + b^3 } \right)}} \le 2$

Bài này đầu tiên em cứ cố Côsi nhưng ko ra.sau đó em nhân a+1 vào tử vào mẫu rồi trừ đi thì ra
Đầu tiên anh nhân a+1 vào tử và mẫu ,sau đó nhân chéo ta cần CM:
a+a^2*b+a*b^2+a^3*b+b^2+a^2*b^3<=1+2a^3+2b^3+a^3*b^3
Mà:b^3+b^3+1>=3b^2
3(a^3+b^3)>=3(a^2*b+b^2*a)
a^3+1+1>=3a
a^3+a^3+a^3*b^3>=3a^3*b
a^3*b^3+a^3*b^3+b^3>=3a^2*b^3
Cộng lại là ra!!!!11111

[L_Euler]

Xin lỗi, đọc không kĩ đáp án! Đề trên THTT nhưng họ giải buồn cười lắm! Có cách nào ngắn hơn không các ban ơi!