Chủ đề này có 3 trả lời

[supermember]

Bài toán :




Cho đa thức $f(x)$ bậc $n$ thỏa mãn



$f(k) = \dfrac{k}{k+1}$ với mọi $k = 0 , 1 , 2 , ...., n$



Tính $f(n+1)$

Nguyễn Vũ Thanh Hà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 19-05-2008 - 10:49

[supermember]

Lời giải của thầy Hero TVƠ :



Nhận xét rằng nếu đa thức $f(x)$ bậc $n$ thỏa điều kiện đề bài thì


nó là đa thức bậc $n$ duy nhất thỏa mãn .$$


Thật vậy .


Giả sử $g(x)$ là đa thức thỏa đề , có bậc $n$ , $f(x) \neq g(x)$



Xét đa thức $h(x) = f(x) - g(x) $ ta có :


$deq h(x) \leq n $ , $h(x)$ khác đa thức không


mặt khác dễ thấy $h(x)$ có $n+1$ nghiệm thực phân biệt $0 , 1, 2, ..., n$ ( Vô lí)


Xét đa thức bậc $n+1$ $P(x) = x + \dfrac{( 0 -x)(1 - x)....(n-x)}{(n+1)!}$



Ta có $P(-1) = 0$

$ \Rightarrow $ theo định lý $Bezout$ thì đa thức $P(x)$ có dạng :


$P(x) = (x+1)T(x)$ trong đó $T(x)$ là 1 đa thức bậc $n$$(**)$



Mặt khác $P(k) = k $ với mọi $k = 0 , 1, 2 ,...., n$


$ \Rightarrow T(k) = \dfrac{k}{k+1}$ với mọi $k = 0 , 1, 2 ,...., n$$(***)$


Từ $ ,(**) , (***)$$ \Rightarrow T(x) = f(x)$


$ \Rightarrow P(n+1) = (n+2)f(n+1) = n+1 + (-1)^{n+1} $



Vậy $f(n+1) = \dfrac{n+1 + (-1)^{n+1}}{n+2}$

1 bài toán đẹp cả về hình thức lẫn nội dung
tặng mọi người

chúc các bạn $12$ có 1 kì thi đại học thật thành công

Nguyễn Vũ Thanh Hà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 19-05-2008 - 12:45

[MyLoveIs4Ever]

Dùng công thức này cũng gọn :

$ f(x+n+1)= \sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{n-i} C_{n+1}^{i}f(x+i) $
Cho $ x=0 $ thì
$ f(n+1)= \sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{n-i} C_{n+1}^{i}f(i) = f(n+1)= \sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{n-i} C_{n+1}^{i}\dfrac{i}{i+1} = \sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{n-i} C_{n+1}^{i}(1- \dfrac{1}{i+1}) = \sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{n-i} C_{n+1}^{i}- \sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{n-i} C_{n+1}^{i}\dfrac{1}{1+i} $

Dễ dàng thấy :
$ \sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{n-i} C_{n+1}^{i} =1 $

$ \sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{n-i} C_{n+1}^{i}\dfrac{1}{1+i} = \dfrac{1}{n+2} \sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{n-i} C_{n+2}^{i+1} = \dfrac{1+(-1)^{n+2}}{n+2} $

=> $ f(n+1)= 1- \dfrac{1+(-1)^{n+2}}{n+2} = \dfrac{n+1+(-1)^{n+1}}{n+2} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MyLoveIs4Ever: 19-05-2008 - 13:33

[dtdong91]

Thực ra thì đây là 1 bài trong đề thi Olympic 30-4 có thể xem trong quyển tuyển tập 10 năm
Ta có thể đặt Q(x)=(x+1)f(x)
=> Q(x) có bậc n+1 và Q(x)-x có n+1 nghiệm
=> Q(x)=kx(x-1)...(x-n)+x
Ta có $ \dfrac{Q(x)}{x+1}=T(x)+\dfrac{k.(-1)^{n}.n!-1}{x+1}$
=> $k=\dfrac{1}{(-1)^{n}.n!}$