Mình thì bỏ làm bdt rồi, dù vẫn còn nhiều hứng thú với trò này. Chỉ tại cái tên topic hơi "ngông" nên mình mới đánh liều làm xem có ra ko. Nhưng mà thấy chán vì nó ko xứng với cái tên thách thức !!! (những bài thách thức của anh Hùng năm xưa mới đáng để gọi tên như vậy!) vì vậy mình khuyên bạn nên đặt tên chủ đề khiêm tốn hơn 1 chút
Về bài toán trên thì mình làm thử câu a còn câu b nói sau (thực ra đây chỉ là dạng đối xứng và dấu bằng đạt đc tại 2 thằng bằng nhau nên ko quá khó khăn để xử lí chúng). Đặt
$p=a+b+c=1,q=ab+bc+ca,r=abc$
Từ giả thiết $a+b+c=1$ suy ra $ q\le \dfrac{1}{3}$ đổi biến về dạng p,q,r như sau:
$f(q,r)=\dfrac{1+q}{q-r}+2r-\dfrac{247}{54}\ge 0$
Dễ thấy hàm này là một hàm đồng biến theo ra nên sử dụng bdt Schur bậc 2 ta có: $r\ge \dfrac{4q-1}{9}$
Suy ra:
$f(q,r)\ge f\left(q,\dfrac{4q-1}{9}\right)=\dfrac{(1-3q)( 227-80q)}{54(5q+1)}\ge 0,\forall q\in [0,1/3]$
Bài tìm k tốt nhất cứ cho $b=c=1/2,a=0 $ chắc sẽ tìm đc k tốt nhất thôi !