Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

NHẬN DẠNG TAM GIÁC


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 khongco

khongco

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết
  • Đến từ:ninh bình

Đã gửi 25-05-2008 - 22:36

Chứng minh rắng tam giác giác ABC thỏa mãn :$ sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB+ sin C + 4sin((A-B)/2).sin((B-C)/2).sin((C-A)/2)$ là tam giác đều
truongson

#2 minhhung_2811

minhhung_2811

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LHP TPHCM

Đã gửi 14-04-2010 - 11:34

Ta có các hệ thức sau:

:D $\sin2A+sin2B+sin2C=4sinA.sinB.sinC$

(*) $sinA+sinB+sinC=4cos\dfrac{A}{2}.cos\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{C}{2}$

(*) $\dfrac{r}{R}=4sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.sin\dfrac{C}{2}$

Ta có: $sin\dfrac{A-B}{2}=\dfrac{sinA-sinB}{2cos\dfrac{A+B}{2}}=\dfrac{sinA-sinB}{2sin\dfrac{C}{2}}$

Theo đề bài, ta có:

$sin2A+sin2B+sin2C=sinA+sinB+sinC+4sin\dfrac{A-B}{2}.sin\dfrac{B-C}{2}sin\dfrac{C-A}{2}$

$\Leftrightarrow 4sinA.sinB.sinC=4cos\dfrac{A}{2}.cos\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{C}{2}+4sin\dfrac{A-B}{2}.sin\dfrac{B-C}{2}.sin\dfrac{C-A}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{sinA.sinB.sinC}{cos\dfrac{A}{2}.cos\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{C}{2}}=1+\dfrac{sin\dfrac{A-B}{2}.sin\dfrac{B-C}{2}.sin\dfrac{C-A}{2}}{cos\dfrac{A}{2}.cos\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{C}{2}}$

$\Leftrightarrow 8sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.sin\dfrac{C}{2}=1+\dfrac{\left ( sinA-sinB \right ).\left ( sinB-sinC \right ).\left ( sinC-sinA \right )}{2sin\dfrac{A}{2}.cos\dfrac{A}{2}.2sin\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{B}{2}.2sin\dfrac{C}{2}.cos\dfrac{C}{2}}$

$\Leftrightarrow 8sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.sin\dfrac{C}{2}=1+\dfrac{\left ( sinA-sinB \right )\left ( sinB-sinC \right )\left ( sinC-sinA \right )}{sinA.sinB.sinC}$

Khi đó, ta có:

$LHS=\dfrac{2r}{R}=\dfrac{\dfrac{2S}{p}}{\dfrac{abc}{4S}}=\dfrac{8S^{2}}{p.abc}=\dfrac{8\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )\left ( p-c \right )}{abc}=\dfrac{\left ( -a+b+c \right )\left ( a-b+c \right )\left ( a+b-c \right )}{abc}$

$RHS=1+\dfrac{\dfrac{\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )}{8R^{3}}}{\dfrac{abc}{8R^{3}}}=1+\dfrac{\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )}{abc}$

Do đó đẳng thức tương đương:

$\dfrac{\left ( -a+b+c \right )\left ( a-b+c \right )\left ( a+b-c \right )}{abc}=1+\dfrac{\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )}{abc}$

$\Leftrightarrow -\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )+ab\left ( a+b \right )+bc\left ( b+c \right )+ca\left ( c+a \right )-2abc=abc-ab\left ( a-b \right )-bc\left ( b-c \right )-ca\left ( c-a \right )$

$\Leftrightarrow \left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )+3abc=2\left ( a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a \right )$

$\Leftrightarrow \left ( a-b \right )\left ( a-c \right )\left ( a+c-b \right )+\left ( b-c \right )^{2}\left ( b+c-a \right )=0$

Vì đẳng thức của đề bài, $a, b, c$ có vai trò hoán vị vòng quanh
Không mất tính tổng quát ta giả sử $a$ là cạnh lớn nhất.
Khi đó theo đẳng thức trên, ta nhận được $a=b=c$ hay $\Delta ABC$ đều
Với các trường hợp $b, c$ là cạnh lớn nhất ta cũng có được kết quả tương tự.

Do đó ta luôn có $\Delta ABC$ đều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhung_2811: 14-04-2010 - 17:43





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh