Chủ đề này có 1 trả lời

[khongco]

Chứng minh rắng tam giác giác ABC thỏa mãn :$ sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB+ sin C + 4sin((A-B)/2).sin((B-C)/2).sin((C-A)/2)$ là tam giác đều

[minhhung_2811]

Ta có các hệ thức sau:

$\sin2A+sin2B+sin2C=4sinA.sinB.sinC$

$sinA+sinB+sinC=4cos\dfrac{A}{2}.cos\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{C}{2}$

$\dfrac{r}{R}=4sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.sin\dfrac{C}{2}$

Ta có: $sin\dfrac{A-B}{2}=\dfrac{sinA-sinB}{2cos\dfrac{A+B}{2}}=\dfrac{sinA-sinB}{2sin\dfrac{C}{2}}$

Theo đề bài, ta có:

$sin2A+sin2B+sin2C=sinA+sinB+sinC+4sin\dfrac{A-B}{2}.sin\dfrac{B-C}{2}sin\dfrac{C-A}{2}$

$\Leftrightarrow 4sinA.sinB.sinC=4cos\dfrac{A}{2}.cos\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{C}{2}+4sin\dfrac{A-B}{2}.sin\dfrac{B-C}{2}.sin\dfrac{C-A}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{sinA.sinB.sinC}{cos\dfrac{A}{2}.cos\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{C}{2}}=1+\dfrac{sin\dfrac{A-B}{2}.sin\dfrac{B-C}{2}.sin\dfrac{C-A}{2}}{cos\dfrac{A}{2}.cos\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{C}{2}}$

$\Leftrightarrow 8sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.sin\dfrac{C}{2}=1+\dfrac{\left ( sinA-sinB \right ).\left ( sinB-sinC \right ).\left ( sinC-sinA \right )}{2sin\dfrac{A}{2}.cos\dfrac{A}{2}.2sin\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{B}{2}.2sin\dfrac{C}{2}.cos\dfrac{C}{2}}$

$\Leftrightarrow 8sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.sin\dfrac{C}{2}=1+\dfrac{\left ( sinA-sinB \right )\left ( sinB-sinC \right )\left ( sinC-sinA \right )}{sinA.sinB.sinC}$

Khi đó, ta có:

$LHS=\dfrac{2r}{R}=\dfrac{\dfrac{2S}{p}}{\dfrac{abc}{4S}}=\dfrac{8S^{2}}{p.abc}=\dfrac{8\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )\left ( p-c \right )}{abc}=\dfrac{\left ( -a+b+c \right )\left ( a-b+c \right )\left ( a+b-c \right )}{abc}$

$RHS=1+\dfrac{\dfrac{\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )}{8R^{3}}}{\dfrac{abc}{8R^{3}}}=1+\dfrac{\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )}{abc}$

Do đó đẳng thức tương đương:

$\dfrac{\left ( -a+b+c \right )\left ( a-b+c \right )\left ( a+b-c \right )}{abc}=1+\dfrac{\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )}{abc}$

$\Leftrightarrow -\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )+ab\left ( a+b \right )+bc\left ( b+c \right )+ca\left ( c+a \right )-2abc=abc-ab\left ( a-b \right )-bc\left ( b-c \right )-ca\left ( c-a \right )$

$\Leftrightarrow \left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )+3abc=2\left ( a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a \right )$

$\Leftrightarrow \left ( a-b \right )\left ( a-c \right )\left ( a+c-b \right )+\left ( b-c \right )^{2}\left ( b+c-a \right )=0$

Vì đẳng thức của đề bài, $a, b, c$ có vai trò hoán vị vòng quanh
Không mất tính tổng quát ta giả sử $a$ là cạnh lớn nhất.
Khi đó theo đẳng thức trên, ta nhận được $a=b=c$ hay $\Delta ABC$ đều
Với các trường hợp $b, c$ là cạnh lớn nhất ta cũng có được kết quả tương tự.

Do đó ta luôn có $\Delta ABC$ đều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhung_2811: 14-04-2010 - 17:43