Chủ đề này có 6 trả lời

[Songohan]

Hôm bữa đọc được cái bài này ở đâu đó.

Cho $\tan \dfrac{\pi}{n}$ là một số hữu tỉ và $n$ là một số nguyên dương. Tìm $n$ ?

[ctlhp]

đại khái ý tưởng là. xét dãy đa thức sau $ P_{1}(x)=x,P_{2}=x^2-2, P_{n+1}=x.P_{n}(x)+P_{n-1}(x), n>1$ dể thấy dãy đa thức trên là monic thỏa $ P_{n}(2cosx)=2cos(nx)$.

Quay lại bài toán, từ giả thiết suy ra là $ t_{n}=cos(\dfrac{2\pi}{n})$ là hữu tỉ là nghiệm đa thức monic $ G_{n}=P_{n}(x)-2$ vậy nó phải $\in (-1,0,1)$ ...từ đó suy ra các giá trị $ n=1,4$.

1 hệ quả là ko có đa giác đều đỉnh nguyên mà số cạnh >4

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ctlhp: 28-05-2008 - 19:39

[Niels Henrik Abel]

anh ctlhp đọc nh` that đấy , bội phuc !

[Songohan]

Quay lại bài toán, từ giả thiết suy ra là $ t_{n}=cos(\dfrac{2\pi}{n})$ là hữu tỉ là nghiệm đa thức monic $ G_{n}=P_{n}(x)-2$ vậy nó phải $\in (-1,0,1)$ ...từ đó suy ra các giá trị $ n=1,4$.

Anh nói rõ thêm ở chỗ này đi, em chưa hiểu lắm, tại sao có thế suy ra $ t_{n}=cos(\dfrac{2\pi}{n})$ là hữu tỉ ?

[ctlhp]

biểu diển $ cos2x$ theo $ tanx$.

[Songohan]

Tại sao nó lại là nghiệm hả anh.

[ctlhp]

ghi nhầm tý, sửa lại là $ P(2cos(\dfrac{2\pi}{n}))=2cos(n\dfrac{2\pi}{n})=2\rightarrow 2cos(\dfrac{2\pi}{n})$ là nghiệm $G(x) $. vậy nó phải nguyên tức là thuộc đám $ (-2,-1,0,1,2)\rightarrow ...$