Chủ đề này có 1 trả lời

[onlyloveyouonly]

cho x,y,z>0.Bất đẳng thức sau đúng hay ngược:
$\dfrac{x}{\sqrt{x+y}}+\dfrac{y}{\sqrt{y+z}}+\dfrac{z}{\sqrt{z+x}}\geq\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi onlyloveyouonly: 28-05-2008 - 23:47

[Tham Lang]

Mình xin được trích nguyên văn từ Sáng tạo bất đẳng thức - Phạm Kim Hùng
Đặt $x = a^2, y = b^2, z = c^2$
Bình phương hai vế :
$$\Leftrightarrow \sum{\dfrac{2a^4}{a^2 + b^2}} + \sum{\dfrac{4a^2b^2}{\sqrt{(a^2 + b^2)(b^2 + c^2)}}} \ge (a + b + c)^2$$
Lại có :
$$\sum{\dfrac{a^4 - b^4}{a^2 + b^2}} = 0 \Leftrightarrow \sum{\dfrac{2a^4}{a^2 + b^2}} = \sum{\dfrac{a^4 + b^4}{a^2 + b^2}}$$
Mặt khác, 2 bộ số :
$$\dfrac{a^2b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \dfrac{b^2c^2}{\sqrt{b^2 + c^2}}, \dfrac{c^2a^2}{\sqrt{c^2 + a^2}}$$
Và
$$\dfrac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} , \dfrac{1}{\sqrt{b^2 + c^2}}, \dfrac{1}{\sqrt{c^2 + a^2}}$$
là 2 bộ đơn điệu ngược chiều nên :
$$\sum{\dfrac{4a^2b^2}{\sqrt{(a^2 + b^2)(b^2 + c^2)}}} \ge \sum{\dfrac{4a^2b^2}{a^2 + b^2}}$$
Chỉ còn cần chứng minh
$$\sum{\dfrac{a^4 + b^4}{a^2 + b^2}} + \sum{\dfrac{4a^2b^2}{a^2 + b^2}} \ge (a + b + c)^2$$
$$\Leftrightarrow \sum{a^2} + \sum{\dfrac{2a^2b^2}{a^2 + b^2}} \ge 2(ab + bc + ca)$$
$$\Leftrightarrow \sum{\left (\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}} - \sqrt{\dfrac{2a^2b^2}{a^2 + b^2}}\right )} \ge 0$$
Bất đẳng thức được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 07-04-2012 - 12:05