Chủ đề này có 4 trả lời

[ongtrum]

cho a,b,c 3 cạnh tam giác:
a)CMR: $ \forall 1 \leq \lambda \leq 2 $
$ \dfrac{1}{(1+\lambda)^{2}}<\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(\lambda.a+b+c)(a+\lambda.b+c)(a+b+\lambda.c)} \leq (\dfrac{2}{2+\lambda})^{3}$
b)Với $\lambda > 2$ thì bất đẳng thức trên còn đúng ko?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongtrum: 30-05-2008 - 00:01

[onlyloveyouonly]

bài này sao ko thấy cao thủ nào vào giải hết thế,chắc quá khó

[lucky_luke]

Khiêu khích mọi người ngay từ cái title.Bác nào có thể giúp em mở rộng tầm mắt,mấy bài này em xin thua.

[onlylove_math]

cho a,b,c 3 cạnh tam giác:
a)CMR: $ \forall 1 \leq k \leq 2 $
$ \dfrac{1}{(1+ka)^{2}}<\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(k.a+b+c)(a+k.b+c)(a+b+k.c)} \leq (\dfrac{2}{2+k})^{3}$
b)Với $k > 2$ thì bất đẳng thức trên còn đúng ko?

bài này dùng pqr là đc thôi ko có j cả
Chuẩn hóa $a+b+c=1 $
Đặt $a+b+c=p=1;ab+bc+ca=q;abc=r $
Ta có$(a+b)(b+c)(c+a) = pq-r=q-r $

$\Leftrightarrow\dfrac{1}{(1+k)^{2}}<\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(k-1)^3abc+(k-1)^2(ab+bc+ca)+(k-1)(a+b+c)+1} \leq (\dfrac{2}{2+k})^{3}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{(1+k)^{2}}<\dfrac{q-r}{(k-1)^3r+(k-1)q+k} \le (\dfrac{2}{2+k})^{3}$

. $ \dfrac{1}{(1+k)^{2}}<\dfrac{q-r}{(k-1)^3r+(k-1)q+k} $
$\Leftrightarrow (k^2+k+2)q > (k^3-2k^2+5k)r + k$
Mà$ pq \ge\ 9r \Leftrightarrow q \le\ 9r $

Cần C/m $ (9k^2+9k+18)r > (k^3-2k^2+5k)r + k \Leftrightarrow (k^3-11k^2-4k-18)r + k < 0 \Rightarrow $ đúng với $ r \le \dfrac{1}{27}$ và $ \forall 1 \leq k \leq 2 $

. $\dfrac{q-r}{(k-1)^3r+(k-1)q+k} \le (\dfrac{2}{2+k})^{3} $

Khai triển ra và dùng schur bậc 3 :$ r \ge \dfrac{p(4q-p^2)}{9} = \dfrac{4q-1}{9}$ thì suy ra DPCM
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi onlylove_math: 03-07-2008 - 13:43

[Allnames]

cho a,b,c 3 cạnh tam giác:
a)CMR: $ \forall 1 \leq \lambda \leq 2 $
$ \dfrac{1}{(1+\lambda)^{2}}<\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(\lambda.a+b+c)(a+\lambda.b+c)(a+b+\lambda.c)} \leq (\dfrac{2}{2+\lambda})^{3}$
b)Với $\lambda > 2$ thì bất đẳng thức trên còn đúng ko?

bạndùng cái tên topic hơi ........
bạn đã nói vậy thì cũng giải đơn giản để các cao thủ đỡ động tay
CHỈ VÀI CHỮ TH?#8221;I;I : SỬ DUNG PQR+CHUẨN H?#8220;A THẾ LÀ ĐƯỢC KHÁ ĐƠN GIẢN
@MỌI NGƯỜI:vì cái title nó ..... quá nên em cũng xin trả lời kiểu ấy mong các thành viên khác tha lỗi
@onlylove math:bạn có thời gian thì post hoàn chỉnh lên đi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Allnames: 03-07-2008 - 11:51