Chủ đề này có 2 trả lời

[L_Euler]

Bài APMO lâu r?#8220;i, nhưng các bạn làm thử xem:

Cho hàm số $f(x):N \to R$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} f(1) = 1 \\\sum\limits_{i = 1}^n {f(i)} = n^2 f(n) \\ \end{array} \right.$. hãy tính giá trị $f(2006)$.

***********************************

Đây nữa:

Bài làm lâu rồi nên quên mất cách làm, các bạn giúp tôi với:

Cho $P(x) = x^5 + {\rm{ax}}^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$.

Biết rằng: $P(1) = 3;P(2) = 9;P(3) = 19;P(4) = 33;P(5) = 51.$.

Tìm công thức TQ $P(x)$.

Có đứa bạn bảo dùng nội suy Lagrange, nhưng tui ko học chuyên, cái này tui chịu :cry

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khongtu093tk: 20-06-2008 - 21:37

[Bé con]

Mấy bài này để ý là ra mà: (Do chưa thạo Latex lắm nên tớ sẽ nói ngắn gổơ một số chỗ,mong mọi người thông cảm )
1/Từ dữ kiện suy ra:$(n^2-1)$f(n)=$(n-1)^2$f(n-1)
hay là:f(n)=(n-10)/(n+1)f(n-1) suy ra f(n)=2/[n(n+1)]
2/ta đặt:R(x)=P(x)-(2$x^2$+1)
Thế thì dễ thấy R có bậc 5,nhận 1,2,3,4,5 là nghiệm nên dễ dàng suy ra R(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) từ đó suy ra P
(Với cách này thì bạn không cần biểt tí gì về Lagrange cũng giải được:))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bé con: 21-06-2008 - 08:55

[Mashimaru]

1/ Ta sẽ chứng minh công thức tổng quát $f(n)=\dfrac{2}{n\(n+1\)},\forall n\in\mathbb{N}$.
Thật vậy, tại $n=1$, ta thấy công thức hiển nhiến đúng.
Giả sử $f(k)=\dfrac{2}{k\(k+1\)},\forall k=\overline{1,n}$ thì tại $k=n+1$ ta có:
$\(n+1\)^2f\(n+1\)=2\(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{\(n+1\)\(n+2\)}\)=2\(1-\dfrac{1}{n+2}\)\Rightarrow f\(n+1\)=\dfrac{2}{\(n+1\)\(n+2\)}$
Theo nguyên lý qui nạp, ta có công thức tổng quát này là đúng.

2/ Công thức nội suy Largrange được phát biểu như sau ạ:
$\forall f\(x\)\in\mathbb{R}\[x\],\forall x_1,x_2,...,x_{n+1}\in\mathbb{R},f\(x\)=\sum_{i=1}^{n} f\(x_i\)\dfrac{\prod_{j=1,j\neq i}^{n}(x-x_j)}{\prod_{j=1,j\neq i}^{n}(x_i-x_j)}$
Ứng dụng đơn giản nhất của công thức trên là cho ta tìm được đa thức bậc $n$ nếu biết $n+1$ giá trị của nó.
Đó cũng là chính là yêu cầu của bài toán anh khongtu093tk đưa ra!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mashimaru: 21-06-2008 - 01:51