Chủ đề này có 4 trả lời

[Bé con]

Hãy xây dựng một dãy số tự nhiên tăng ngặt thõa mãn tính chất:
Trung bình cộng của bình phương hai phần tử liền kề của dãy luôn là một số chính phương.
(Sinh nhật vui vẻ nhé em,xin lỗi tặng em bài này hơi muộn,nhưng mờ bây giờ mới có bài để post )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bé con: 24-06-2008 - 09:27

[tanlsth]

Dãy $a_n=2n^2-1$ thỏa mãn bài toán.

[hieunguyentr92]

Dãy này có điều đặc biệt là phần tử thứ sáu cách phần tử thứ năm đúng 22 đơn vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieunguyentr92: 24-06-2008 - 21:44

[Mashimaru]

Anh Tân nhanh quá, bài này là...quà sinh nhật của em mà, huhu. Anh Bé_con tặng bài khác đi

Tặng mọi người 1 bài: Cho các số $\(x_1,x_2,...x_n\)$ là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Biết rằng tồn tại một hoán vị $\(x_{\pi_1},x_{\pi_2},...,x_{\pi_n}\)$ là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Tìm giá trị lớn nhất có thể có của $n$ và $u_n$.

[tanlsth]

Bài của em có thể giải như sau

Không xét trường hợp các số bằng nhau vì khi đó bài toán trở nên tầm thường.

Đầu tiên ta giả sử $x_1<..<x_n$ và hoán vị dãy $x_{i_1},..,x_{i_n}$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân với công bội $q$

Không mất tính tổng quát giả sử $|q|>1$ suy ra $|x_{i_1}|<..<|x_{i_n}|$

Như vậy suy ra hoặc tất cả các số hạng của dãy đều dương khi $q>1$ hoặc dãy số $x_{i_1},..,x_{i_n}$ đan dấu nhau và $q<-1$ và khi đó các số hạng dương trong dãy lập thành cấp số nhân công bội $q^2$

Nếu trong dãy có ít nhất $3$ số dương thì $0<x_{n-2}<x_{n-1}<x_n$ và ta có các số hạng này vừa tạo thành cấp số cộng và cấp số nhân

Suy ra $x_{n-2}=x_{n-1}=x_n$ (vô lí)

Vậy có nhiều nhất 2 số dương trong dãy và tương tự có nhiều nhất 2 số âm trong dãy và $n \leq 4$

Với $n=3$ thì ta dễ dàng loại được còn với $n=3$ thì ta chỉ ra.

Đoạn sau em tự tính.