Chủ đề này có 7 trả lời

[Mashimaru]

Cho $f\(x\)\in\mathbb{R}\[x\]$. Hãy tìm tất cả các đa thức $P\(x\)\in\mathbb{R}\[x\]$ thỏa điều kiện $P\(x^2\)=P\(x\).P\(f\(x\)\),\forall x\in\mathbb{C}$ trong các trường hợp sau:

a. $f\(x\)=ax+b,a\neq 0$
b. $f\(x\)$ là đa thức có nghiệm thực $x_0$
c. $f\(x\)$ là đa thức không có nghiệm thực nào.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mashimaru: 25-06-2008 - 11:35

[tanlsth]

Có 1 kết quả tổng quát là nếu phương trình có dạng $f(H(x)).f(G(x))=f(Q(x))$ với $H,G,Q \in R[x], degH+degG=degQ$ thì phương trình đó có tối đa một nghiệm đa thức khác hằng số.
Từ giả thiết suy ra rõ ràng đa thức $f$ có bậc nhất thì các điều kiện sau của em là thừa à.

[Mashimaru]

Dạ không, mỗi câu đều là riêng chứ anh? Câu c. em chỉ đặt ra, chưa giải. Còn câu b. có lẽ điều kiện có nghiệm thực là thừa anh nhỉ, vì chỉ cần dùng nghiệm phức cũng có thể làm được...

[tanlsth]

Rõ ràng nếu thỏa mãn $P(x^2)=P(x)P(f(x))$ thì suy ra $degf=1$ thì rõ ràng tất cả đều như một cả mà em.

[dtdong91]

Hình như là cái bổ đề trên chỉ có chiều thuận thôi , còn ở đây em Mashimaru đang đặt tìm đa thức trong các điều kiện cho trước mà

[tanlsth]

Hình như là cái bổ đề trên chỉ có chiều thuận thôi , còn ở đây em Mashimaru đang đặt tìm đa thức trong các điều kiện cho trước mà

Không hiểu sao nữa.Có phải là cái trên anh viết đúng không.Mà ra rõ ràng từ đó thì ta sẽ áp dụng cái chiều thuận.Rõ ràng cái đa thức $f$ ở đây chỉ có thể là bậc nhất thì bài toán còn có ý nghĩa gì nữa.

[Mashimaru]

Vâng, em nghĩ anh Tân nói đúng đấy ạ. Vì em nhanh nhảu...đoảng quá nên đặt ra một bài toán chẳng khác mấy so với lúc đầu, có chăng là tổng quát hơn được cái đa thức bậc nhất. Nhưng nếu nhìn kĩ lại thì ta cũng suy ra rằng $\deg f\(x\)=1$ đồng thời $f\(x\)$ là đa thức đơn khởi, tức là hệ số cao nhất của nó bằng $1$ nữa cơ. Bài toán đến đây trở nên tầm thường mất rồi ạ...

[Mashimaru]

Thôi, để chuộc lỗi, em đưa ra một bài toán khác vậy. Bài này em cũng chỉ vừa đặt ra thôi, hy vọng nó ko rơi vào trường hợp tầm thường như mấy cái bài trên, hic hic...

Tìm tất cả các giá trị $n\in\mathbb{Z}$ sao cho tồn tại một đa thức $P\(x\)\in\mathbb{Z}\[x\]$, bất khả qui trên $\mathbb{Z}\[x\]$ và thỏa điều kiện $P\(x^2\)=P\(x\)P\(x+n\)$