Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Định Lý Wilson Mở rộng


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 Harry Potter

Harry Potter

    Kẻ Được Chọn

  • Hiệp sỹ
  • 286 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:SG
  • Sở thích:Stochastic Objects

Đã gửi 30-06-2008 - 16:46

Đây là những " khám phá " riêng của Harry về một vấn đề rất nổi tiếng :) . Mong mọi người cùng đọc và cho ý kiến .
Bản PDF vì dùng không bản quyền nên ... :)
Mọi người xem tạm >.<

File gửi kèm


We will always have STEM with us. Some things will drop out of the public eye and will go away, but there will always be science, engineering, and technology. And there will always, always be mathematics.
 


#2 Mashimaru

Mashimaru

    Thượng sĩ

  • Hiệp sỹ
  • 264 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường PTNK ĐHQG TPHCM

Đã gửi 30-06-2008 - 17:31

Em xin nêu ra một bài toán cũng từa tựa định lý Wilson.

Cho $p$ là một số nguyên tố. Chứng minh rằng $\(\(\dfrac{p-1}{2}\)!\)^2\equiv -1 (mod p)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mashimaru: 02-07-2008 - 17:25

Và như thế, hạnh phúc thật giản dị, nhưng đó là điều giản dị mà chỉ những người thực sự giàu có trong tâm hồn mới sở hữu được.

#3 Allnames

Allnames

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ: THPT Phan Bội Châu Nghệ An

Đã gửi 01-07-2008 - 16:32

Em nghĩ những bài tựa WILSON thì ta có thể dùng luật thuận nghịch bình phương để tìm ra( và có thể giải nữa)Ko biết em nói đúng ko nữa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Allnames: 01-07-2008 - 16:33

Mọi người đều có một niềm tin và hãy giữ cho niềm tin ấy đươc sống mãi

#4 Primes

Primes

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 02-07-2008 - 11:44

Bài này ta có thể giải bằng căn nguyên thủy . Trường hợp $n\in \{2,4,p^t,2p^t\}$ ta thấy rằng n có căn nguyên thủy.
Khi đó ta có $\{g^1,...,g^{\varphi(n)}$ là thặng dư thu gọn mod n.
Do đó $T\equiv g^{\dfrac{\varphi(n)(\varphi(n)-1))}{2}\equiv -1 ( mod n)$

Xét trường hợp còn lại .Quy ước như sau :
Kí hiệu $a^{-1}$ là số b thỏa mãn :$ab\equiv 1(mod n)$ trong đó $\gcd(a,n)=1$
Quay lại bài toán .
Trường hợp 1 :$n\equiv 1 $ Đặt $n=\prod_{i=1}^rp_i^{a_i}$ ,r>1
Khi đó ta sẽ cm $T\equiv 1( mod p_i^{a_i},\forall i=1,..,r$
Thật thế $A_i=\{m\in \{1,..,n}|\gcd(m,n)=1$
$B_i$ là tập con của $A_i$ mà tồn tại $p_k $ sao cho $p_k|m$
$T\equiv A_i.B_i^{-1}( mod p_i^{a_i})$
Ta có $A\equiv \left[g^{\dfrac{\varphi(p_i^{a_i})(\varphi(p_i^{a_i})-1)}{2}\right]^{\dfrac{n}{p_i^{a_i}}}}$
Theo nguyên lí PIE ta có $B\equiv (g^{\frac{\varphi(p_i^{a_i})(\varphi(p_i^{a_i})-1)}{2})^{-1}}$
Suy ra $T\equiv 1 ( mod p_i^{a_i})$
Từ đó ta có đpcm cho trường hợp này .
Trường hợp 2 :$ n\equiv 0(mod 2)$
Ta lại xét 2 trường hợp nhỏ
2.1 $2||n$ và $4|n$
Nếu $v_2(n)\leq 2$ ta lại dùng căn ngúyên thủy như trên .Xét trường hợp còn lại
Ta dễ chứng minh tính chất sau : $T_n\equiv 1( mod 2^n) $ với $n\geq 3$
Từ đó suy ra $T_n\equiv 1 (mod n)$
Kết thúc chứng minh .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 16-04-2013 - 23:31


#5 Mashimaru

Mashimaru

    Thượng sĩ

  • Hiệp sỹ
  • 264 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường PTNK ĐHQG TPHCM

Đã gửi 05-08-2008 - 22:46

Em có một "mở rộng" của định lý Wilson, để trong ngoặc kép là vì em đã kiểm chứng nó trong một vài trường hợp cụ thể và thấy nó đúng.

Các anh thử chứng minh giúp ạ:

Chứng minh rằng $\forall n\in\mathbb{N}^{*}$ ta luôn có:

$\prod_{0\leq x\leq n}^{\gcd{\(k;n\)}=1}k\equiv -1\(mod n\)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mashimaru: 09-08-2008 - 20:53

Và như thế, hạnh phúc thật giản dị, nhưng đó là điều giản dị mà chỉ những người thực sự giàu có trong tâm hồn mới sở hữu được.

#6 Primes

Primes

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 06-08-2008 - 18:26

Em có một "mở rộng" của định lý Wilson, để trong ngoặc kép là vì em đã kiểm chứng nó trong một vài trường hợp cụ thể và thấy nó đúng.

Các anh thử chứng minh giúp ạ:

Chứng minh rằng $\forall n\in\mathbb{N}^{*}$ ta luôn có:

$\prod_{\gcd{\(k;n\)}=1}k\equiv -1\(mod n\)$

Bài này của em anh thấy chính là cái bài trên mà . Tuy nhiên nếu em viết thế này thì tích này ko xác định đâu ?

#7 Mashimaru

Mashimaru

    Thượng sĩ

  • Hiệp sỹ
  • 264 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường PTNK ĐHQG TPHCM

Đã gửi 09-08-2008 - 20:19

Thưa anh, tại sao cách viết đó lại không xác định ạ?
Và như thế, hạnh phúc thật giản dị, nhưng đó là điều giản dị mà chỉ những người thực sự giàu có trong tâm hồn mới sở hữu được.

#8 Primes

Primes

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 09-08-2008 - 20:48

Vì cái tập $gcd(k,n)=1$ nó là vô hạn .

#9 Mashimaru

Mashimaru

    Thượng sĩ

  • Hiệp sỹ
  • 264 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường PTNK ĐHQG TPHCM

Đã gửi 09-08-2008 - 20:59

Ấy chết, xin lỗi mọi người em đã sửa lại rồi ạ. Cảm ơn anh đã nhắc.

Nhưng nếu bây giờ mình đặt $\Phi\(m\)=\{x\in\mathbb{N}^*|x\leq m;\gcd{\(x;m\)}=1\}$ thì rất nhiều tính chất của hệ thặng du thu gọn đối với số nguyên tố có thể mở rộng lên cái này.

Trong box này hình như có 1 topic bảo chứng minh $\sum_{x\in\Phi\(m\)}\equiv 0\(mod m\)$ thì phải?

Em xin đưa ra thêm một mở rộng nữa:

Cho $m$ là số tự nhiên lớn hơn $2$. Giả sử tập hợp $\Phi\(m\)$ được xếp thứ tự $x_1<x_2<...<x_{\varphi\(m\)}$. Chứng minh rằng: $\prod_{i=1}^{\dfrac{\varphi\(m\)}{2}}x_i\equiv \(-1\)^{\[\dfrac{m}{2}\]}\(mod m\)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mashimaru: 09-08-2008 - 21:03

Và như thế, hạnh phúc thật giản dị, nhưng đó là điều giản dị mà chỉ những người thực sự giàu có trong tâm hồn mới sở hữu được.

#10 Primes

Primes

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 09-08-2008 - 21:31

Cái bài em post ấy thì nó suy ra từ cái nhận xét nếu $\gcd(a,m)=1$ thì $\gcd(m-a,m)=1$
Do thế có thể sắp tập đó thành $\dfrac{\varphi(m)}{2}$ (xét m>2)
Bài 1 suy ra trực tiếp từ bài toán này còn bài số 2 thì nó giống bài của bạn Harry potter đấy .

#11 beatman

beatman

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Đã gửi 05-03-2010 - 23:21

ko down được tài liệu kia anh ạ , ai có thể up lên giúp em được không




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh