Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh rằng: $\sum\frac{1}{\sqrt{m_a}}\ge\sqrt{\dfrac{6}{R}}$

psw

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 anh_offline

anh_offline

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khối PT chuyên Đại học sư phạm Hà Nội

Đã gửi 07-07-2008 - 10:33

Cho tam giác $\triangle ABC$, các trung tuyến $ m_{a,b,c},\;R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Chứng minh rằng:
$$\dfrac{1}{\sqrt{m_a}} + \dfrac{1}{\sqrt{m_b}} + \dfrac{1}{\sqrt{m_c}} \ge \sqrt{\dfrac{6}{R}}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 30-10-2013 - 11:33
Ngược dấu!


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1909 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 30-10-2013 - 09:30

Bài này đề sai rồi !

Thử xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, có $AB=6;AC=8;BC=10$ (đơn vị độ dài)

Khi đó $m_{a}=5;m_{b}=\sqrt{52};m_{c}=\sqrt{73};R=5$ (đơn vị độ dài)

Và $\frac{1}{\sqrt{m_{a}}}+\frac{1}{\sqrt{m_{b}}}+\frac{1}{\sqrt{m_{c}}}=\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt[4]{52}}+\frac{1}{\sqrt[4]{73}}\approx 1,1617174$

Còn $\sqrt{\frac{6}{R}}=\sqrt{\frac{6}{5}}\approx 1,0954451$


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-10-2013 - 11:31

Bài này đề sai rồi !

Thử xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, có $AB=6;AC=8;BC=10$ (đơn vị độ dài)

Khi đó $m_{a}=5;m_{b}=\sqrt{52};m_{c}=\sqrt{73};R=5$ (đơn vị độ dài)

Và $\frac{1}{\sqrt{m_{a}}}+\frac{1}{\sqrt{m_{b}}}+\frac{1}{\sqrt{m_{c}}}=\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt[4]{52}}+\frac{1}{\sqrt[4]{73}}\approx 1,1617174$

Còn $\sqrt{\frac{6}{R}}=\sqrt{\frac{6}{5}}\approx 1,0954451$

 

Có thể tác giả đã nhầm chiều của bất đẳng thức này. Đây là một bất đẳng thức khá hay và khó!

Mời các bạn tiếp tục tham gia (với chiều $\ge$ nhé!)


Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#4 maitienluat

maitienluat

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 182 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy Nhơn

Đã gửi 30-10-2013 - 20:04

 Bổ đề: $m_a+m_b+m_c \leq  \frac {9R} {2}$

C/minh:

  Sử dụng kết quả quen thuộc $\sin ^2 A+ \sin ^2 B+ \sin ^2 C  \leq \frac {9} {4}$, ta có

$$(m_a+m_b+m_c)^2 \leq 3(m_a^2+m_b^2+m_c^2) = \frac {9} {4} (a^2+b^2+c^2) = 9R^2(\sin ^2 A+ \sin ^2 B + \sin ^2 C ) \leq \frac {81} {4} R^2$$

 $\Rightarrow$ đpcm.

Trở lại bài toán. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và bổ đề trên, ta được

$$\sum \frac {1} {\sqrt{m_a}} \geq \frac {9} {\sum \sqrt {m_a}} \geq \frac {9} {\sqrt {3(\sum m_a)}} \geq \frac {9} {\sqrt {3. \frac {9R} {2}}} = \sqrt {\frac {6} {R}}$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác $ABC$ đều.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 30-10-2013 - 20:43






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh