Bổ đề: $m_a+m_b+m_c \leq \frac {9R} {2}$
C/minh:
Sử dụng kết quả quen thuộc $\sin ^2 A+ \sin ^2 B+ \sin ^2 C \leq \frac {9} {4}$, ta có
$$(m_a+m_b+m_c)^2 \leq 3(m_a^2+m_b^2+m_c^2) = \frac {9} {4} (a^2+b^2+c^2) = 9R^2(\sin ^2 A+ \sin ^2 B + \sin ^2 C ) \leq \frac {81} {4} R^2$$
$\Rightarrow$ đpcm.
Trở lại bài toán. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và bổ đề trên, ta được
$$\sum \frac {1} {\sqrt{m_a}} \geq \frac {9} {\sum \sqrt {m_a}} \geq \frac {9} {\sqrt {3(\sum m_a)}} \geq \frac {9} {\sqrt {3. \frac {9R} {2}}} = \sqrt {\frac {6} {R}}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác $ABC$ đều.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 30-10-2013 - 20:43