Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bulgaria TST 2007


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 tanlsth

tanlsth

    Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1428 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 12-07-2008 - 16:42

Ngày 1


Bài 1. Cho tam giác $ABC$ với $\angle BAC=\dfrac{\pi}{6}$ và bán kính của đường tròn ngoại tiếp bằng $1$.Nếu $X$ là một điểm nằm trong hoặc trên biên tam giác $ABC$ thì đặt $m(X)=\min(AX,BX,CX)$.Tìm tất cả các góc của tam giác này nếu $\max(m(X))=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$


Bài 2. Tìm tất cả $a \in R$ sao cho tồn tại một hàm số khác hằng số $f: (0,1] \to R$ thỏa mãn

$a+f(x+y-xy)+f(x)f(y) \leq f(x)+f(y)$


vợi mọi $x,y \in (0,1]$


Bài 3. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác không cân $ABC$.Đặt $A_1 \equiv AI \cap BC $ và $ B_1 \equiv BI \cap AC$.Gọi $ l_a$ là đường thẳng qua $A_1$ song song với $AC$ và $l_b$ là đường thằng qua $B_1$ song song với $BC$.Đặt $l_a \cap CI \equiv A_2, l_b
\cap CI \equiv B_2$ và $N \equiv AA_2 \cap BB_2$ và $M$ là trung điểm của $AB$.Nếu $CN // IM$ thì hãy tính $\dfrac{CN}{IM}$.


Bài 4. Cho $G$ là một đồ thị và $x$ là một đỉnh của $G$.Ta xác định một phép biến đổi $\phi_x$ trên $G$ là ta xóa đi tất cả các đoạn có $x$ làm đầu mút và vẽ thêm vào các cạnh $xy$ với $y \in G$ và $y $ không được nối với $x$.Một đồ thị $H$ được gọi là $G-attainable$ nếu tồn tại một dãy các phép biến đổi trên sao cho có thể biến đổi $G$ thành $H$.Chứng minh rằng với mỗi đồ thị $G $với $4n$ đỉnh và $n$ cạnh thì tồn tại một đồ thị $G-attainable$ với ít nhất $\dfrac{9n^2}{4}.$


Ngày 2


Bài 5. Trên tam giác cân $ABC(AC=BC) $ lấy điểm $M$ trên cạnh $AB$ sao cho $AM=2BM$.Gọi $F$ là trung điểm của $ BC$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $AF$.Chứng minh rằng $\angle BHF=\angle ABC.$


Bài 6. Gọi $ n,k \in N, n \geq 2k > 3$ và $A=\{1,2,..,n\}$.Tìm tất cả $n,k$ sao cho số tập con $k$ phần tử của A thì lớn hơn $2n-k$ lần số tập con $2$ phần tử của A.


Bài 7. Cho $n \in N, n \geq 2$. Tìm hằng số $C(n)$ tốt nhất sao cho

$\sum_{i=1}^{n}x_{i}\geq C(n)\sum_{1\leq j<i\leq n}(2x_{i}x_{j}+\sqrt{x_{i}x_{j}})$

đúng với mọi $x_i \in (0,1),i=1,..,n$ và $(1-x_{i})(1-x_{j})\geq\dfrac{1}{4},1\leq j<i \leq n$.


Bài 8. Cho $p=4k+3$ là số nguyên tố.Tìm số các số phân biệt theo $mod(p)$ của $(x^2+y^2)^2$ với $(x,p)=(y,p)=1$


Click vào từng bài để đưa tới link thảo luận.

File gửi kèm


Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh