Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

China TST 2008


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 tanlsth

tanlsth

    Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1428 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 12-07-2008 - 17:36

Ngày 1


Bài 1. Cho $ABC$ là một tam giác có $AB>AC$.Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc $BC$ tại $E$.Gọi $D$ là giao điểm thứ hai của đường tròn nội tiếp với $AE$. $F$ là điểm nằm trên đoạn $AE$ sao cho $CE=CF$.Tia $CF$ cắt $BD$ ở $G$.Chứng minh rằng $CF=FG$.


Bài 2. Cho dãy $\{x_n\}$ được xác định $x_1=2,x_2=12,x_{n+2}=6x_{n+1}-x_n,n \geq 1$.Gọi $p$ là một số nguyên tố lẻ và $q $ là một ước nguyên tố của $ x_p$.Chứng minh rằng nếu $q \neq 2,3$ thì $q \geq 2p-1$.


Bài 3. Giả sử rằng mỗi số nguyên dương đều được tô màu xanh hoặc đỏ một cách tùy ý.Chứng minh rằng tồn tại một dãy vô hạn các số nguyên dương $a_1<a_2<..<a_n<..$ thỏa mãn dãy vô hạn các số nguyên dương $a_1, \dfrac{a_1+a_2}{2} , a_2 , \dfrac{a_2+a_3}{2} , a_3 ,...$ có cùng màu.


Ngày 2



Bài 4. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 4$ tùy ý, tồn tại một hoán vị các tập con có ít nhất $2$ phần tử của tập $G_n=\{1,2,..,n\} $ là $P_1,P_2,..,P_{2^n-n-1}$ sao cho $|P_i \cap P_{i+1}|=2, i=1,..,2^n-n-2.$


Bài 5. Cho $m,n \in N,m,n>1 $và $a_{ij} ,i=1,..,n, j=1,..,m$ là các số thực không âm và không phải tất cả bằng $0$.Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của $f$ với

$f=\dfrac {n\sum_{i = 1}^{n}(\sum_{j = 1}^{m}a_{ij})^2 + m\sum_{j = 1}^{m}(\sum_{i = 1}^{n}a_{ij})^2}{(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}a_{ij})^2 + mn\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j= 1}^{m}a_{ij}^2}$



Bài 6. Tìm hằng số $ M$ lớn nhất sao cho với mọi $n \geq 3,n \in N$ tùy ý đều tồn tại hai dãy số thực dương $a_1,a_2,..,a_n,b_1,b_2,..,b_n$ sao cho

$(i) \sum_{k = 1}^{n}b_{k} = 1,2b_{k}\geq b_{k - 1} + b_{k + 1},k = 2,3,\cdots,n - 1$

$(ii) a_{k}^2\leq 1 + \sum_{i = 1}^{k}a_{i}b_{i},k = 1,2,3,\cdots,n, a_n \equiv M$

File gửi kèm


Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning


#2 tanpham90

tanpham90

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 218 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP Ho Chi Minh
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 12-07-2008 - 17:58

Bài 5. Cho $m,n \in N,m,n>1 $và $a_{ij} ,i=1,..,n, j=1,..,m$ là các số thực không âm và không phải tất cả bằng $0$.Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của $f$ với

$f=\dfrac {n\sum_{i = 1}^{n}(\sum_{j = 1}^{m}a_{ij})^2 + m\sum_{j = 1}^{m}(\sum_{i = 1}^{n}a_{ij})^2}{(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}a_{ij})^2 + mn\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j =1}^{m}a_{ij}^2}$

Thế này phải không anh :D , chỗ $mn\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j =1}^{m}a_{ij}^2$ ấy :leq
Chuyên toán ----- ĐHSP-TPHCM ----- 05-08

#3 tanlsth

tanlsth

    Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1428 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 12-07-2008 - 18:03

Anh check lại cả đề gốc rồi.Chắc đúng đó em ạ :D

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning


#4 tanpham90

tanpham90

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 218 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP Ho Chi Minh
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 12-07-2008 - 22:25

ack vậy viết biểu thức đó sao anh :@) ?
Chuyên toán ----- ĐHSP-TPHCM ----- 05-08

#5 tanlsth

tanlsth

    Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1428 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 12-07-2008 - 22:40

ack vậy viết biểu thức đó sao anh :@) ?

Nghĩa là sao em?Anh không hiểu.

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning


#6 tanpham90

tanpham90

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 218 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP Ho Chi Minh
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 12-07-2008 - 22:48

Nghĩa là mình khai triển cái chỗ

Bài 5. Cho $m,n \in N,m,n>1 $và $a_{ij} ,i=1,..,n, j=1,..,m$ là các số thực không âm và không phải tất cả bằng $0$.Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của $f$ với

$f=\dfrac {n\sum_{i = 1}^{n}(\sum_{j = 1}^{m}a_{ij})^2 + m\sum_{j = 1}^{m}(\sum_{i = 1}^{n}a_{ij})^2}{(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}a_{ij})^2 + mn\sum_{i = 1}^{n}\sum_{i = j}^{m}a_{ij}^2}$

ra như thế nào nếu viết như cái đề đó anh :D , với lại nếu sửa đề như của em thì làm được , còn kiểu như đề gốc thì không hiểu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanpham90: 12-07-2008 - 23:21

Chuyên toán ----- ĐHSP-TPHCM ----- 05-08

#7 tanlsth

tanlsth

    Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1428 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 12-07-2008 - 22:53

Ớ,thì khai triển bình thường thôi em.Cái cuối là tổng của bình phương của các số $a_{ij}$ và $mn$ lần tổng bình phương các số hạng $a_{ij}$ mà.
Cái trên thì cứ thế lấy ra thôi.

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning


#8 tanpham90

tanpham90

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 218 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP Ho Chi Minh
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 13-07-2008 - 00:04

Ớ,thì khai triển bình thường thôi em.Cái cuối là tổng của bình phương của các số $a_{ij}$ và $mn$ lần tổng bình phương các số hạng $a_{ij}$ mà.
Cái trên thì cứ thế lấy ra thôi.

Thì ý em là vậy đó :D , anh type sai chỗ chỉ số $i,j$ của thằng tích $mn$ đó anh
Min thì em mới đoán chứ chưa chứng minh được , còn Max là 1 .
Với : $n=m=2$ ta có :
$P=\dfrac{2((a+b)^2+(a+x)^2+(x+y)^2+(b+y)^2)}{(a+b+x+y)^2+4(x^2+a^2+y^2+b^2)}$

Cần chứng minh : $P \leq\ 1$ , cái này thì không dùng cổ điển được vì mới đầu ngồi mò ra đẳng thức tá lả , nào là $a,b,c,x,y,z$ lập thành cấp số cộng , hoặc $a,b,c,x,y,z$ là cấp số nhân rồi tá lả trường hợp nên chỉ có thể chứng minh bằng phân tích bình phương :D và quả đúng như vậy :D .
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : $(x+b-a-y)^{2} \geq\ 0$ đúng :leq
Hay nếu viết lại là :
$x$ ; $y$
$a$ ; $b$
thì là : $(x+b-a-y)^{2}$ ( giống kiểu định thức nhưng thay vì nhân thì ở đây là cộng :leq )

Tiếp với $n=2$ ; $m=3$ ta có $P=\dfrac{2(a+b+c)^2+2(x+y+z)^2+3(a+x)^2+3(b+y)^2+3(c+z)^2}{6(a^2+b^2+c^2+x^2+y^2+z^2)+(a+b+c+x+y+z)^2}$
Ta chứng minh : $P \leq\ 1$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : $(x+b-y-a)^2+(x+c-z-a)^2+(y+c-b-z)^2 \geq\ 0$ đúng

Nếu viết lại là :
$x$ ; $y$ ; $z$
$a$ ; $b$ ; $c$
thì cái khai triển là tổng bình phương của ba cái ''định thức'' ( làm vậy để dễ nhận ra cái khai triển của nó :leq , và hơn nữa cũng viết cái biểu thức khai triển của $P$ dễ hơn nhiều )

Với $n=3$ ; $m=4$ thì khai triển là :
$x$ ; $y$ ; $z$ ; $t$
$a$ ; $b$ ; $c$ ; $d$
$k$ ; $l$ ; $m$ ; $n$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương :

$(x+b-a-y)^{2}+(x+c-a-z)^{2}+(x+d-a-t)^{2}+(x+l-k-y)^{2}+(x+m-k-z)^{2}+(x+n-k-t)^{2}+(y+c-b-z)^{2}+(y+d-b-t)^{2}+(y+m-l-z)^{2}+(y+n-l-t)^{2}+...... \geq\ 0$


Cứ thế tiếp tục bằng quy nạp thì chứng minh được bài toán , bài này thực chất là đi chứng minh đẳng thức :D
Chuyên toán ----- ĐHSP-TPHCM ----- 05-08

#9 tanlsth

tanlsth

    Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1428 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 13-07-2008 - 00:23

À đúng là type lộn chút.Để sửa lại.

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh