Ngày 1
Bài 1. Cho $ABC$ là một tam giác có $AB>AC$.Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc $BC$ tại $E$.Gọi $D$ là giao điểm thứ hai của đường tròn nội tiếp với $AE$. $F$ là điểm nằm trên đoạn $AE$ sao cho $CE=CF$.Tia $CF$ cắt $BD$ ở $G$.Chứng minh rằng $CF=FG$.
Bài 2. Cho dãy $\{x_n\}$ được xác định $x_1=2,x_2=12,x_{n+2}=6x_{n+1}-x_n,n \geq 1$.Gọi $p$ là một số nguyên tố lẻ và $q $ là một ước nguyên tố của $ x_p$.Chứng minh rằng nếu $q \neq 2,3$ thì $q \geq 2p-1$.
Bài 3. Giả sử rằng mỗi số nguyên dương đều được tô màu xanh hoặc đỏ một cách tùy ý.Chứng minh rằng tồn tại một dãy vô hạn các số nguyên dương $a_1<a_2<..<a_n<..$ thỏa mãn dãy vô hạn các số nguyên dương $a_1, \dfrac{a_1+a_2}{2} , a_2 , \dfrac{a_2+a_3}{2} , a_3 ,...$ có cùng màu.
Ngày 2
Bài 4. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 4$ tùy ý, tồn tại một hoán vị các tập con có ít nhất $2$ phần tử của tập $G_n=\{1,2,..,n\} $ là $P_1,P_2,..,P_{2^n-n-1}$ sao cho $|P_i \cap P_{i+1}|=2, i=1,..,2^n-n-2.$
Bài 5. Cho $m,n \in N,m,n>1 $và $a_{ij} ,i=1,..,n, j=1,..,m$ là các số thực không âm và không phải tất cả bằng $0$.Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của $f$ với
$f=\dfrac {n\sum_{i = 1}^{n}(\sum_{j = 1}^{m}a_{ij})^2 + m\sum_{j = 1}^{m}(\sum_{i = 1}^{n}a_{ij})^2}{(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}a_{ij})^2 + mn\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j= 1}^{m}a_{ij}^2}$
Bài 6. Tìm hằng số $ M$ lớn nhất sao cho với mọi $n \geq 3,n \in N$ tùy ý đều tồn tại hai dãy số thực dương $a_1,a_2,..,a_n,b_1,b_2,..,b_n$ sao cho
$(i) \sum_{k = 1}^{n}b_{k} = 1,2b_{k}\geq b_{k - 1} + b_{k + 1},k = 2,3,\cdots,n - 1$
$(ii) a_{k}^2\leq 1 + \sum_{i = 1}^{k}a_{i}b_{i},k = 1,2,3,\cdots,n, a_n \equiv M$
File gửi kèm
-
China_Team_Selection_Test_2008.pdf 88.14K
92 Số lần tải
