Chủ đề này có 5 trả lời

[Math_is_Great]

Cho $x,y,z$ là 3 số thực dương. CMR $\dfrac{x}{x+yz}$ + $\dfrac{y}{y+zx}$ + $\dfrac{z}{z+xy}$ $\dfrac{9}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math_is_Great: 14-07-2008 - 13:01

[tanlsth]

Đề sai rồi mà em.Cho $x=y=z$ đủ lớn là thấy.

[Math_is_Great]

Sorry, em viết nhầm, đã sửa lại

[tanlsth]

Vẫn sai mà em, lấy $x=y=z$ đủ bé thì sao.

[Math_is_Great]

Ấy chết, em thiếu đk $x+y+z=1$ =.=

[tanlsth]

Đặt $a=\sqrt{\dfrac{yz}{x}},b=\sqrt{\dfrac{xz}{y}},c=\sqrt{\dfrac{xy}{z}}$

Suy ra $ab+bc+ca=1$ và bất đẳng thức tương đương với $\sum\dfrac{1}{a^2+1} \leq \dfrac{9}{4}$

Biến đổi suy ra $9a^2b^2c^2+5\sum a^2b^2+\sum a^2 \geq 3$

Không mất tính tổng quát giả sử $(3a^2-1)(3b^2-1) \geq 0 \to 9a^2b^2c^2 \geq 3a^2c^2+3b^2c^2-c^2$

Lại có $a^2+b^2 \geq 2ab$
$ 3a^2c^2+\dfrac{1}{3} \geq 2ac$
$ 3b^2c^2+\dfrac{1}{3} \geq 2bc$
$5\sum a^2b^2 \geq \dfrac{5(ab+bc+ca)^2}{3} \geq \dfrac{5}{3}$

Cộng dồn tất cả các bất đẳng thức trên lại ta có điều phải chứng minh.