Chủ đề này có 7 trả lời

[supermember]

Bẵng đi $1$ khoảng thời gian khá dài Hero TVƠ không thể ghóp vui với VMF do bận ôn thi ĐH


Nay tái ngộ cũng phải có chút gì chào hỏi anh em cho nó phải đạo


Bài này coi như quà cho anh Tân , cu Thực , cu Thắng . $3$ người bạn thân nhất của Hero TVƠ trên
VMF .
à quên , còn có bé Dũng dễ thương và nhóc Mashi nữa chứ nhỉ



Bài toán :

Giả sử $O$ là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác $ABC$


$O$ nằm trên đường tiếp tuyến trong góc $A$ của tam giác $ABC$


. Gọi $M$ là trung điểm $AC$ và $P$ là giao điểm của $OM$ với $BC$


Chứng minh rằng nếu $\widehat{BAC} \ = \ 2\widehat{ACB} $ thì $AB \ = \ BP$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 14-07-2008 - 01:25

[Mashimaru]

Anh Lộc ko tặng em thế là ko đẹp đâu nhá , edit ghi thêm tên em vào đi, hehe

Anh cho em hỏi...$O$ là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc nào của $\triangle ABC$ ạ?

[tanlsth]

http://diendantoanho...st=0#entry52757
Ở đây cũng có một bài ngày trước mới vô diễn đàn.Hình như hơi na ná chút.
Nói thật là hình lâu rồi không đụng giờ nhảy vào mất thời gian lắm,ngồi đi tìm các tính chất cũng đã mệt rồi. Cáo từ anh em trước, có cho bài khác họ may đỡ nổi .

[MyLoveIs4Ever]

Để em làm cho anh Lộc

Xét $ AO \cap BC = N $

O là tậm đường tròn bàng tiếp góc A ..

Theo Meneleuyt trong tam ANC ta có :
$ \dfrac{MC}{MA}.\dfrac{OA}{ON}.\dfrac{PN}{PC}=1 <=> \dfrac{PN}{PC}=\dfrac{ON}{OA} $

Mặt khác áp dụng tinh chất phân giác ngoài dể dàng CM được $ (ANIO)=-1 $ tức $ \dfrac{NI}{AI}=\dfrac{NO}{AO} $ => $ \dfrac{PN}{PC}= \dfrac{NI}{AI}= \dfrac{CN}{CA} $

từ đó ta có : $ CP= \dfrac{CA.CN}{CN+CA} $
Mặt khác $ CN = \dfrac{AC.BC}{AB+AC} $

nên $ BP= \dfrac{BC(BC+AB)}{BC+CA+AB}=AB <=> BC^2=ABAC+AB^2 $
$ <=> a^2=bc+c^2 $

Từ $ A=2C $ ta có $ a=2ccosC=c.\dfrac{a^2+b^2-c^2}{ab} <=> a^2b=ca^2+cb^2-c^3 <=> a^2(b-c)+c(c-b)(c+b) = 0 <=> (b-c)(a^2-c^2-bc) =0 $ do $ b \neq c $ => $ a^2=c^2+bc $
=> đpcm ^^!

[tanlsth]

Chài,cách này có vẻ tính toán dữ nhỉ .Còn cách nào thuần túy không đưa lên cho mọi người tham khảo.

[supermember]

Thấy anh em có vẻ nhiệt tình quá nên Hero TVƠ xin chia sẻ 1 lời giải khá hay , đơn giản , dễ hiểu



Tiếc là lời giải này không phải do Hero TVƠ nghĩ ra . Huhuhu



Gọi $D$ là giao điểm của $BC$ với $AO$


$E$ là giao điểm của $AP$ kéo dài với $OC$


Áp dụng định lý $Ceva$ trong tam giác $ACO$ ta có :



$\dfrac{MA}{MC} \dfrac{EC}{EO} \dfrac{DO}{DA} \ = \ 1$

Mà do $M$ là trung điểm $AC$ ( giả thiết ) $ \Rightarrow MA \ = \ MC$



$ \Rightarrow \dfrac{EC}{EO} \dfrac{DO}{DA} \ = \ 1 $

$ \Rightarrow \dfrac{EC}{EO} \ = \ \dfrac{DA}{DO} $



Suy ra $DE$ song song $AC$( định lý $Thales $ đảo)


$ \Rightarrow \widehat{EDC} \ = \ \widehat{BCA} \ = \ \widehat{DAC} \ = \ \widehat{EDO} $



$ \Rightarrow DE $ là phân giác của góc $ \widehat{ODC} $




nên dễ thấy các tia phân giác góc ngoài góc $D $ và $C $ của tam giác $ADC$


giao nhau tại $E$


Nói cách khác thì $E$ chính là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ADC$


$ \Rightarrow \widehat{DAP} \ = \ \widehat{PAC}$


Từ đây ta có $ \widehat{BAP} \ = \ \widehat{BAD} \ + \ \widehat{DAP}$

$\ = \ \widehat{DCA} \ + \ \widehat{PAC} $ ( theo tính chất góc ngoài )

$ \ = \ \widehat{APB} $

Suy ra tam giác $ABP$ cân tại $B$


Suy ra $AB \ = \ BP$

1 bài toán quá đẹp

HVPA

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 15-07-2008 - 10:36

[Nguyễn-Dũng-TN]

Bẵng đi $1$ khoảng thời gian khá dài Hero TVƠ không thể ghóp vui với VMF do bận ôn thi ĐH
Nay tái ngộ cũng phải có chút gì chào hỏi anh em cho nó phải đạo
Bài này coi như quà cho anh Tân , cu Thực , cu Thắng . $3$ người bạn thân nhất của Hero TVƠ trên
VMF .
à quên , còn có bé Dũng dễ thương và nhóc Mashi nữa chứ nhỉ
Bài toán :

Giả sử $O$ là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác $ABC$


$O$ nằm trên đường tiếp tuyến trong góc $A$ của tam giác $ABC$
. Gọi $M$ là trung điểm $AC$ và $P$ là giao điểm của $OM$ với $BC$
Chứng minh rằng nếu $\widehat{BAC} \ = \ 2\widehat{ACB} $ thì $AB \ = \ BP$

) )
Hì hì, không biết có phải anh bảo em ah? Dạo này em có làm toán nữa đâu, cả mấy bài BDT trên ML hồi xưa anh post em cũng ko có thời gian để giải. Xin lỗi anh nhá!

[FOOL90]

To anh Tân : em còn tính toán ác hơn này:D
Lời giải
Gọi $AO \cap BC =I$ .
khi đó ta có :$AI=CI=\dfrac{ab}{b+c}$ ; $BI =\dfrac{ac}{b+c}$; $AO=\dfrac{a(a+b+c)}{b+c}$;$OI=\dfrac{a(a+c)}{b+c}$
Áp dụng Menelaus cho tam giác AIC với sự O,P,M thẳng hàng :
$\dfrac{OI}{OA} =\dfrac{PI}{PC}$
$\Rightarrow \dfrac{PC}{CI} = \dfrac{a+b+c}{2a+2c+b}$
$\Rightarrow PC =\dfrac{ab(a+b+c)}{(b+c).(2a+2c+b)}$

Ta có $a=2R.sin2x ; c=2Rsinx; b=2R.sin3x$. với $x= \hat{C}$
Mặt khác ta có :$ \dfrac{sin2x .sin3x.(sinx +sin3x + sin 2x)}{(sin3x+sinx)(2sin2x+2sinx+sin3x)} = sin 2x - sinx$
nên thay vào $\Rightarrow PC=BC-AB \Rightarrow BA=BP (dpcm)$