Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

OLympic Toán Quốc Tế 2008


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 83 trả lời

#1 Harry Potter

Harry Potter

    Kẻ Được Chọn

  • Hiệp sỹ
  • 286 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:SG
  • Sở thích:Stochastic Objects

Đã gửi 15-07-2008 - 18:14

IMO 2008



Cuộc thi Olymic Toán Quốc Tế lần thứ 49 diễn ra từ ngày 9 tới ngày 22 tháng 7 năm 2008 tại thủ đo Marid của Tây Ban Nha với sự tham gia của 104 nước và vùng lãnh thổ cùng 554 thí sinh . Hai ngày thi chính thức là ngày 16 và 17 tháng 7 , bên cạnh hai ngày thi chính sẽ là các hoạt động giao lưu giữa các đoàn và các thí sinh nghỉ ngơi , giải trí và thăm quan các danh thắng ở Tây Ban Nha . Tới với kỳ thi lần này đoàn Việt Nam có 6 thí sinh , trưởng đoàn là Giáo Sư Hà Huy Khoái , Thầy Nguyễn Khắc Minh và 3 quan sát viên là các thầy : Mạc Đăng Nghị , Phan Tuấn Cộng và thầy Trịnh Văn Hoa .

Tại Topic này chúng tôi sẽ cố gắng tổng hợp nhanh nhất các diễn biến của kỳ thi . Dưới đây là ảnh các thành viên của đoàn Việt Nam :

Hình đã gửi
GS. Hà Huy Khoái
( Trưởng Đoàn )


Hình đã gửi
Thầy Nguyễn Khắc Minh
( Phó Đoàn )

Hình đã gửi
Thầy Mạc Đăng Nghị

Hình đã gửi
Thầy Phan Tuấn Cộng

Hình đã gửi
Thầy Trịnh Văn Hoa




và 6 học sinh :

Hình đã gửi
Lê Ngọc Anh
( THPT Lam Sơn - Thanh Hóa )

Hình đã gửi
Nguyễn Phạm Đạt
( THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội )

Hình đã gửi
Dương Trọng Hoàng
( THPT Chuyên ĐHSP Vinh )

Hình đã gửi
Đỗ Thị Thu Thảo
( THPT Nguyễn Trãi , Hải Dương )

Hình đã gửi
Đặng Trần Tiến Vinh
(THPT NK ĐHQG Thành Phố Hồ Chí Minh )

http://www.imo-2008.es/TPhotosJPG/Thumb_VNM_20080606-100750-073.jpg
Hoàng Đức Ý
( THPT Lam Sơn , Thanh Hóa )


Ngày 1

Bài 1

Cho $H$ là trực tâm của tam giác nhọn $ABC$. Đường tròn $\Gamma_A$ có tâm là trung điểm cạnh $BC$ và đi qua $H$, cắt đường thẳng $BC$ tại $A_1$, $A_2$. Các điểm $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$ xác định tương tự. Chứng minh rằng 6 điểm $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$ cùng thuộc 1 đường tròn.

Bài 2

a.Cho $x,y,z$ là các số thực khác 1 thỏa mãn $xyz=1$
Cmr :
$\dfrac {x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \dfrac {y^{2}}{\left(y - 1\right)^{2}} + \dfrac {z^{2}}{\left(z - 1\right)^{2}} \geq$ 1
b.Chứng minh đẳng thức trên xảy ra với vô hạn bộ 3 số hửu tỷ (x,y,z)

Bài 3

Chứng minh tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho $n^{2}+1$ có 1 ước nguyên tố lớn hơn $2n+ \sqrt{2n}$

Ngày 2:

Bài 4: Tìm tất cả các hàm $f: (0, +\infty ) \to (0, +\infty)$ sao cho

$ \dfrac{(f(w))^{2}+(f(x))^{2}}{f(y^{2})+f(z^{2})} = \dfrac{w^{2}+x^{2}}{y^{2}+z^{2}} $


với mọi số thực dương $w,x,y,z$ mà $wx=yz$.

Bài 5: Giả sử $n$ và $k$ là các số nguyên dương với $k \geq n$$k-n$ là số chẵn. Cho $2n$ bóng đèn được đánh số từ $1$ đến $2n$; mỗi bóng có thể sáng hoặc tắt. Tại thời điểm ban đầu, mọi bóng đều tắt. Xét các dãy gồm các bước: tại mỗi bước, công tắc của một trong các bóng đèn được bật (từ sáng chuyển thành tắt hoặc từ tắt chuyển thành sáng).

Giả sử $N$ là số các dãy mà mỗi dãy gồm $k$ bước và kết thúc ở trạng thái: các bóng đèn từ $1$ đến $n$ sáng, các bóng từ $n+1$ đến $2n$ tắt

Giả sử $M$ là số các dãy mà mỗi dãy gồm $k$ bước và cũng kết thúc ở trạng thái: các bóng đèn từ $1$ đến $n$ sáng, các bóng từ $n+1$ đến $2n$ tắt, nhưng trong quá trình đó không một công tắc nào của các bóng từ $n+1$ đến $2n$ được bật.

Tính tỉ số $\dfrac{N}{M}$.

Bài 6: Giả sử $ABCD$ là một tứ giác lồi với $|BA| \neq |BC| $. Kí hiệu các đường tròn nội tiếp của các tam giác $ABC$ và $ADC$ tương ứng qua $w_{1}$ và $w_{2}$. Giả sử tồn tại đường tròn w tiếp xúc với nửa đường thằng $BA$ kéo dài tại một điểm đi sau $A$ và tiếp xúc với nửa đường thẳng $BC$ kéo dài tại một điểm đi sau $C$, đồng thời đường tròn đó cũng tiếp xúc với các đường thẳng $AD$ và $CD$. Chứng minh rằng các tiếp tuyến chung ngoài của $w_{1}$ và $w_{2}$ giao nhau tại một điểm nằm trên đường tròn $w$.

Để biết thêm chi tiết các bạn có thể vào trang web cính thức của cuộc thi : http://www.imo-2008.es

Dưới đây là đề bài bản Tiếng Việt và Tiếng Anh

File gửi kèm

  • File gửi kèm  vie.pdf   288.03K   1082 Số lần tải
  • File gửi kèm  eng.pdf   138.05K   365 Số lần tải

We will always have STEM with us. Some things will drop out of the public eye and will go away, but there will always be science, engineering, and technology. And there will always, always be mathematics.
 


#2 tanlsth

tanlsth

    Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1428 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 15-07-2008 - 18:33

Chài,đội hình đẹp ghê.Có bạn nữ nữa nhìn càng đẹp :D.Chúc đội tuyển năm nay thi tốt,đạt kết quả cao.
Lâu rồi mới được nhìn lại thầy Hoa,trông thầy vẫn phong độ không kém :D.

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning


#3 namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH KHTN Tp HCM
  • Sở thích:- Giải tóan, dạy tóan
    - Đá bóng, xem đá bóng và cá cược bóng đá
    - Sưu tầm tem, đọc truyện lịch sử

Đã gửi 15-07-2008 - 23:16

Chúc đội tuyển thành công!

#4 DinhCuongTk14

DinhCuongTk14

    Tiến sĩ Diễn đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 749 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK Hà Nội

Đã gửi 16-07-2008 - 23:32

Ngày 1

Bài 1

Cho $H$ là trực tâm của tam giác nhọn $ABC$. Đường tròn $\Gamma_A$ có tâm là trung điểm cạnh $BC$ và đi qua $H$, cắt đường thẳng $BC$ tại $A_1$, $A_2$. Các điểm $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$ xác định tương tự. Chứng minh rằng 6 điểm $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$ cùng thuộc 1 đường tròn.

Bài 2

a.Cho $x,y,z$ là các số thực khác 1 thỏa mãn $xyz=1$
Cmr :
$\dfrac {x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \dfrac {y^{2}}{\left(y - 1\right)^{2}} + \dfrac {z^{2}}{\left(z - 1\right)^{2}} \geq$ 1
b.Chứng minh đẳng thức trên xảy ra với vô hạn bộ 3 số hửu tỷ (x,y,z)

Bài 3

Chứng minh tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho $n^{2}+1$ có 1 ước nguyên tố lớn hơn $2n+ \sqrt{2n}$

File gửi kèm



#5 tanlsth

tanlsth

    Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1428 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 17-07-2008 - 00:08

Đặt $a=\dfrac{x}{x-1},b=\dfrac{y}{y-1},c=\dfrac{z}{z-1}$ suy ra $x=\dfrac{a}{a-1},y=\dfrac{b}{b-1},z=\dfrac{c}{c-1}$

Thay vào giả thiết suy ra $a+b+c=ab+bc+ca+1 \to \sum a^2+2\sum a =(\sum a)^2+2 \to \sum a^2=(\sum a-1)^2+1 \geq 1$

Suy ra điều phải chứng minh

Để chứng minh ý sau ta chỉ cần chỉ ra tồn tại vô hạn bộ $a,b,c$ hữu tỉ sao cho $a+b+c=1$ và $ab+bc+ca=0$.Chú ý là $a,b,c \neq 1$

Thật vậy, thế $c$ vào ta có $a^2+(b-1)a+b^2-b=0$

Chọn $b=\dfrac{m}{n}$ với $m=\dfrac{x^2-y^2}{4}, n=\dfrac{x2+3y^2}{4}, x,y \no \vdots 2, x>y \in N*$

Dễ thấy phương trình có nghiệm hữu tỉ thỏa mãn bài toán.

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning


#6 tanlsth

tanlsth

    Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1428 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 17-07-2008 - 00:35

Bài hình thì chỉ cần để ý rằng $T_A$ và $T_B$ sẽ cùng cắt $CH$ tại một điểm.Sư dụng phương tích suy ra được $A_1,A_2,B_1,B_2$ cùng thuộc một đường tròn

Tương tự ta có $B_1,B_2,C_1,C_2$ cùng thuộc một đường tròn

$C_1,C_2,A_1,A_2$ cùng thuộc một đường tròn

Gọi tâm các đường tròn trên lần lượt là $O_1,O_2,O_3$ suy ra $O,O_1,O_2,O_3$ thẳng hàng với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

Mà nó lại thuộc trung trực của $AB,BC,CA$ nên các điểm này trùng nhau hay ta có điều phải chứng minh.

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning


#7 tanlsth

tanlsth

    Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1428 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 17-07-2008 - 00:42

Theo mình cái câu 2b phải là xảy ra đẳng thức với vô hạn bộ số $x,y,z$ hữu tỉ chứ.Nếu không thì bài toán trở nên tầm thường <_<

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning


#8 tanlsth

tanlsth

    Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1428 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 17-07-2008 - 00:52

Chài.Nghĩ đi nghĩ lại thấy đúng <_<.Câu 3 đã cũ rồi :D.

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning


#9 H.Quân- ĐHV

H.Quân- ĐHV

    An-tôn Páp-lô-vích Sê-Khốp

  • Thành viên
  • 530 Bài viết
  • Đến từ:Khối THPT chuyên Đại Học Vinh
  • Sở thích:toán và bóng đá

Đã gửi 17-07-2008 - 07:37

Ngày 1

Bài 1

Cho $H$ là trực tâm của tam giác nhọn $ABC$. Đường tròn $\Gamma_A$ có tâm là trung điểm cạnh $BC$ và đi qua $H$, cắt đường thẳng $BC$ tại $A_1$, $A_2$. Các điểm $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$ xác định tương tự. Chứng minh rằng 6 điểm $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$ cùng thuộc 1 đường tròn.

câu này khỏi bàn sủ dụng phương tinch như anh tanls nói.
I hope for the best

Chẳng có gì đáng giá bằng nụ cười và tình yêu thương của bạn bè

Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng

#10 zaizai

zaizai

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Thành viên
  • 1380 Bài viết
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:giải toán(đặc biệt là Bất đẳng thức), đá bóng &lt;br&gt;đội bóng yêu thích là Man utd

Đã gửi 17-07-2008 - 11:45

Bài 2 đã có trong tuyển tập BDT nothing1.PDF của anh Võ Quốc Bá Cẩn (toanhocmuonmau) !!! Xem ra đã là một kết quả có từ trước!

Hình đã gửi
Hình đã gửi

#11 tanlsth

tanlsth

    Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1428 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 17-07-2008 - 11:48

Đề năm nay bất ngờ thật.Các câu thực sự không khó.Đợi hôm nay xem sao.

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning


#12 zaizai

zaizai

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Thành viên
  • 1380 Bài viết
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:giải toán(đặc biệt là Bất đẳng thức), đá bóng &lt;br&gt;đội bóng yêu thích là Man utd

Đã gửi 17-07-2008 - 12:38

Bài 2 có thể giải bằng 1 cách đơn giản như sau. Từ điều kiện $xyz=1$ đặt $x=\dfrac{a}{b},y=\dfrac{b}{c},z=\dfrac{c}{a}$. Đồng bậc ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\left(\dfrac{a}{a-b}\right)^2+\left(\dfrac{b}{b-c}\right)^2+\left(\dfrac{c}{c-a}\right)^2\ge 1$
$\Leftrightarrow \dfrac{(a^2b+b^2c+c^2a-3abc)^2}{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}\ge 0$

#13 tanlsth

tanlsth

    Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1428 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 17-07-2008 - 13:13

Bài 2 có thể giải bằng 1 cách đơn giản như sau. Từ điều kiện $xyz=1$ đặt $x=\dfrac{a}{b},y=\dfrac{b}{c},z=\dfrac{c}{a}$. Đồng bậc ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\left(\dfrac{a}{a-b}\right)^2+\left(\dfrac{b}{b-c}\right)^2+\left(\dfrac{c}{c-a}\right)^2\ge 1$
$\Leftrightarrow \dfrac{(a^2b+b^2c+c^2a-3abc)^2}{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}\ge 0$

Cách đơn giản là các mà ta làm ra đơn giản nhất chứ chưa đụng bài này mà ngồi biến đổi được ra cái hằng đẳng thức này thì cũng <_<

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning


#14 dduclam

dduclam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 364 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:NUCE
  • Sở thích:Toán học, võ thuật và truyện tranh.

Đã gửi 17-07-2008 - 13:23

Bài 2 đã có trong tuyển tập BDT nothing1.PDF của anh Võ Quốc Bá Cẩn (toanhocmuonmau) !!! Xem ra đã là một kết quả có từ trước!


Đúng là bài này đã quen thuộc rồi, có trong mấy cuốn sách BDT của PKH, Vasc và trên ML, toanthpt.net... Lẽ nào ban ra đề không biết điều này <_<
Sống trên đời cần có một tấm lòng
để làm gì em biết không?
để gió cuốn đi...

Khi ước mơ đủ lớn, mọi thứ khác chỉ là vặt vãnh

#15 zaizai

zaizai

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Thành viên
  • 1380 Bài viết
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:giải toán(đặc biệt là Bất đẳng thức), đá bóng &lt;br&gt;đội bóng yêu thích là Man utd

Đã gửi 17-07-2008 - 13:31

Cái chính là cách ko đụng hàng thôi anh tanlsth ạ (cái này cũng ko hẳn là biến đổi đâu, cũng cần chút tinh tế đấy anh :D). Bên Mathlink xuất hiện cả chục lời giải rồi ấy chứ, trong đó đơn giản phức tạp đều có cả <_< Dù sao thì nhiều người vẫn nhận xét đây ko phải là sự lựa chọn thông minh cho 1 kì thi IMO.
Có thể tham khảo thêm ở Mathlinks.ro. Cụ thể là ở đây :D
http://www.mathlinks...index.php?f=512

#16 dduclam

dduclam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 364 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:NUCE
  • Sở thích:Toán học, võ thuật và truyện tranh.

Đã gửi 17-07-2008 - 14:06

Dù sao thì nhiều người vẫn nhận xét đây ko phải là sự lựa chọn thông minh cho 1 kì thi IMO.


Phải nói là "tối kỵ" chứ <_<

Cái chính là cách ko đụng hàng thôi anh tanlsth ạ ..

.
Cách của zaizai và cách của Darij Grinberg là một :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dduclam: 17-07-2008 - 14:06

Sống trên đời cần có một tấm lòng
để làm gì em biết không?
để gió cuốn đi...

Khi ước mơ đủ lớn, mọi thứ khác chỉ là vặt vãnh

#17 bonly01

bonly01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình

Đã gửi 17-07-2008 - 14:48

Đặt $a=\dfrac{x}{x-1},b=\dfrac{y}{y-1},c=\dfrac{z}{z-1}$ suy ra $x=\dfrac{a}{a-1},y=\dfrac{b}{b-1},z=\dfrac{c}{c-1}$

Thay vào giả thiết suy ra $a+b+c=ab+bc+ca+1 \to \sum a^2+2\sum a =(\sum a)^2+2 \to \sum a^2=(\sum a-1)^2+1 \geq 1$

Suy ra điều phải chứng minh

Để chứng minh ý sau ta chỉ cần chỉ ra tồn tại vô hạn bộ $a,b,c$ hữu tỉ sao cho $a+b+c=1$ và $ab+bc+ca=0$.Chú ý là $a,b,c \neq 1$

Thật vậy, thế $c$ vào ta có $a^2+(b-1)a+b^2-b=0$

Chọn $b=\dfrac{m}{n}$ với $m=\dfrac{x^2-y^2}{4}, n=\dfrac{x2+3y^2}{4}, x,y \no \vdots 2, x>y \in N*$

Dễ thấy phương trình có nghiệm hữu tỉ thỏa mãn bài toán.

Cũng đặt như bác thì
S=a+b+c P=ab+bc+ca ta có s=p+1 ->a^2+b^2+c^2=s^2-2*p=(p+1)^2-2*p=p^2+1 <_< 1
Dấu bằng xảy ra ab+bc+ca=0
a+b+c=1
->b+c=1-a
bc=a^2-a
b,c là nghiệm của phương trình t^2-t*(a-1)+(a^2-a)=0 có nghiệm hữu tỷ khi mà
:D =(1-a)(1+3a) ta chọn
1-a=m,1+3a=m*n^2 suy ra a ok

#18 oleo_no1

oleo_no1

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH

Đã gửi 17-07-2008 - 18:44

Đề thi ngày thứ nhất em xin post thêm cách giải của em >>>>> cực kì đơn giản , ko đụng hàng!
Câu 1:
Gọi A'; B'; C' là trung điểm của BC; CA; AB. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC.
Ta phải Cm O là tâm đường tròn chứa 6 điểm A1; A2; B1; B2; C1; C2
Ta có:
OA12 = OC22 (A1 và C2 là 2 điểm kề B)
:D OA'2 + A'A12 = OC'2 + C'C22
<_< OA'2 - OC'2 = C'H2 - A'H2 (Thay C'C2 = C'H; A'A1 = A'H)
:D BA'2 - BC'2 = {(2(BH2 + CH2) - BC2) -(2(BH2 +AH2) - BA2}/4 (CT đường trung tuyến)
:D BC2 - BA2 = 2(CH2 -AH2) - (BC2 - BA2)
:D BC2 - BA2 = HC2 - HA2 (luôn luôn đúng).
Tương tự: OA2 = OB1; OB2 = OC1

Vậy___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanquang: 18-07-2008 - 14:04

[oleo_no1]

#19 songuyento

songuyento

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 73 Bài viết

Đã gửi 17-07-2008 - 18:58

Các bác bị lừa rồi, đề IMO ngày 2 đây nè.
File gửi kèm  2008vie.pdf   288.03K   292 Số lần tải

#20 DinhCuongTk14

DinhCuongTk14

    Tiến sĩ Diễn đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 749 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK Hà Nội

Đã gửi 17-07-2008 - 19:08

Chán bọn mathlinks này quá nhất là cái tên orl :D ai sửa dùm mình với <_< mệt wa :D(




3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh