Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

OLympic Toán Quốc Tế 2008


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 83 trả lời

#21 T*genie*

T*genie*

    Đường xa nặng bóng ngựa lười...

  • Quản trị
  • 1157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Paris
  • Sở thích:Maths & Girls

Đã gửi 17-07-2008 - 19:47

Chán bọn mathlinks này quá nhất là cái tên orl :D ai sửa dùm mình với <_< mệt wa :D(

Ngày 2:

Bài 4: Tìm tất cả các hàm $f: (0, +\infty ) \to (0, +\infty)$ sao cho

$ \dfrac{(f(w))^{2}+(f(x))^{2}}{f(y^{2})+f(z^{2})} = \dfrac{w^{2}+x^{2}}{y^{2}+z^{2}} $


với mọi số thực dương $w,x,y,z$ mà $wx=yz$.

Bài 5: Giả sử $n$ và $k$ là các số nguyên dương với $k \geq n$$k-n$ là số chẵn. Cho $2n$ bóng đèn được đánh số từ $1$ đến $2n$; mỗi bóng có thể sáng hoặc tắt. Tại thời điểm ban đầu, mọi bóng đều tắt. Xét các dãy gồm các bước: tại mỗi bước, công tắc của một trong các bóng đèn được bật (từ sáng chuyển thành tắt hoặc từ tắt chuyển thành sáng).

Giả sử $N$ là số các dãy mà mỗi dãy gồm $k$ bước và kết thúc ở trạng thái: các bóng đèn từ $1$ đến $n$ sáng, các bóng từ $n+1$ đến $2n$ tắt

Giả sử $M$ là số các dãy mà mỗi dãy gồm $k$ bước và cũng kết thúc ở trạng thái: các bóng đèn từ $1$ đến $n$ sáng, các bóng từ $n+1$ đến $2n$ tắt, nhưng trong quá trình đó không một công tắc nào của các bóng từ $n+1$ đến $2n$ được bật.

Tính tỉ số $\dfrac{N}{M}$.

Bài 6: Giả sử $ABCD$ là một tứ giác lồi với $|BA| \neq |BC| $. Kí hiệu các đường tròn nội tiếp của các tam giác $ABC$ và $ADC$ tương ứng qua $w_{1}$ và $w_{2}$. Giả sử tồn tại đường tròn w tiếp xúc với nửa đường thằng $BA$ kéo dài tại một điểm đi sau $A$ và tiếp xúc với nửa đường thẳng $BC$ kéo dài tại một điểm đi sau $C$, đồng thời đường tròn đó cũng tiếp xúc với các đường thẳng $AD$ và $CD$. Chứng minh rằng các tiếp tuyến chung ngoài của $w_{1}$ và $w_{2}$ giao nhau tại một điểm nằm trên đường tròn $w$.


@DinhCuongTk14: anh không có chức năng edit bài viết nên em copy lại rồi sửa lại bài của em, sau đó xóa bài này đi.

Ai có cách giải bài 5 không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 17-07-2008 - 20:20


#22 Primes

Primes

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 17-07-2008 - 20:07

Chả hiểu thế nào nữa ,bài 4 mathlinks một kiểu .Nếu đề như diễn đàn toán học thì đúng là đề không khó .

#23 DinhCuongTk14

DinhCuongTk14

    Tiến sĩ Diễn đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 749 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK Hà Nội

Đã gửi 17-07-2008 - 20:14

@ : Đề đã sửa:) bây giờ diễn đàn mình và mathlinks cùng 1 đề các bạn yên tâm làm đi nhé :-*

#24 nquangkhai

nquangkhai

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 18-07-2008 - 06:24

Mượn mãi mới có nick post bài, ko biết có đụng hàng ai ko. Em xin giải bài hình trước, còn 1 bài số để noon post sau...
Gọi M,N,P lần lượt ;à trung điểm các cạnh BC,CA,AB .
Ta có$ MN||AB;CH \bot AB \to MN \bot CH\$
Suy ra: $ CM^2 - HM^2 = CN^2 - HN^2 $
Theo phương tích ta có:
$ CA_1 .CA_2 = CM^2 - HM^2 ; CB_1 .CB_2 = CN^2 - HN^2 $
Từ các đẳng thức trên ta có: $ CA_1 .CA_2 = CB_1 .CB_2 $
Do đó $A_1 ,A_2 ,B_1 ,B_2 $ cùng thuộc một đường tròn .
Tương tự với các cặp 4 điểm khác .... (Dpcm)
---------------------------------------------------------
Fujibrainy!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nquangkhai: 18-07-2008 - 09:45


#25 tranvantoan

tranvantoan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết

Đã gửi 18-07-2008 - 06:42

Đề thi lấy ở đây
http://www.imo-offic...g/problems.aspx.

#26 Harry Potter

Harry Potter

    Kẻ Được Chọn

  • Hiệp sỹ
  • 286 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:SG
  • Sở thích:Stochastic Objects

Đã gửi 18-07-2008 - 08:11

Sau khi có lời giải cho tất cả các bài toán là sẽ type lại thành một bản Vietnamese gồm lời giải và đề bài luôn thể ^^

We will always have STEM with us. Some things will drop out of the public eye and will go away, but there will always be science, engineering, and technology. And there will always, always be mathematics.
 


#27 lehoan

lehoan

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vinh
  • Sở thích:Gái, Gái và Gái.

Đã gửi 19-07-2008 - 09:42

Bài 5.
Gọi $X$ tập hợp các dãy $(a_1,a_2,...,a_k)$ với $1\le a_i\le 2n$ sao cho với mọi $1\le j\le n$ thì $|\{i|a_i=j\}|$ lẻ và $|\{i|a_{i}=n+j\}|$ chẵn
Gọi $Y$ là tập hợp các dãy $(a_1,...,a_k)$ với $1\le a_i\le n$ sao cho với mọi $1\le j\le n$ thi $|\{i|a_i=j\}|$ lẻ.
Khi đó ta có $|X|=N,|Y|=M$ và rõ ràng là $Y\subset X$.

Với mỗi phần tử $a\in Y$, ta xét tập $P(a)$ là các phần tử $b\in X$ sao cho $a\equiv b \pmod n$ ( nghĩa là $a_i\equiv b_i\pmod n$).

Khi đó rõ ràng ta có nếu $a\neq a'\in Y$ thì $P(a)\neq P(a')$.

Và mỗi phần tử thuộc $X$ thì thuộc về duy nhất một tập $P(a)$. Suy ra $P(a)\cap P(a')=\emptyset$

Ta tính $|P(a)|$ cho mỗi $a$. Ta có $a=(a_1,...,a_k)$. Với mỗi $1\le j\le n$ đặt $t_j=$$|\{i|a_i=j\}|$. Ta có $t_j$ lẻ và $\sum\limits_{j=1}^{n}t_j=k$.

Với $t_j$ chỉ số $i$ mà $a_i=j$, ta có $2^{t_j-1}$ cách chọn ra một số chẵn chỉ số $m$ và chuyển giá trị $a_m$ thành $a_m+n$.

Vậy $|P(a)|=\pro\limits_{j=1}^{n}2^{t_j-1}=2^{\sum\limits_{j=1}^{n}t_j-n}=2^{k-n}$


Từ đây ta có thể kết luận $\dfrac{N}{M}=2^{k-n}$.

#28 lehoan

lehoan

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vinh
  • Sở thích:Gái, Gái và Gái.

Đã gửi 19-07-2008 - 10:07

Bài 4.

Cho $w=x=y=y=z$, ta có $f(x^2)=f(x^2)$. Suy ra $f(1)=1$ Xét bộ $(1,x,\sqrt{x},\sqrt{x})$ ta có $\dfrac{f(1)+f(x^2)}{2f(x)}=\dfrac{1+x^2}{2x}$. Suy ra $(f(x)-x)(f(x)-\dfrac{1}{x})=x$. Suy ra $f(x)=x$ hoặc $f(x)=\dfrac{1}{x}$ với mỗi $x$.

Tiếp theo chứng minh không tồn tại $a,b>0\neq 1$ mà $f(a)=a$ còn $f(b)=\dfrac{1}{b}$.

Thật vậy nếu tồn tại thì ta có vô số $a,b$ mà $f(a)=a$ và $f(b)=\dfrac{1}{b}$.

Cố định một $a>0$ với $f(a)=a$, với $b\neq 1$ bất kì mà $f(b)=\dfrac{1}{b}$

Xét với mọi $x>0$ ta có $\dfrac{f(x)+f(\dfrac{ab}{x})}{f(a)+f(b)}=\dfrac{x+\dfrac{ab}{x}}{a+b}$

suy ra $f(x)+f(\dfrac{ab}{x})=(a+\dfrac{1}{b})(x+\dfrac{ab}{x})$
Suy ra $f(\sqrt{ab})=(a+\dfrac{1}{b})\sqrt{ab}$. Suy ra $(a+\dfrac{1}{b})=1$ hoặc $(a+\dfrac{1}{b})=\sqrt{ab}$. Suy ra chỉ có hữu hạn $b$, vô lí.

Vậy ta có $f(x)=x $với mọi $x>0$ hoặc $f(x)=\dfrac{1}{x}$ với mọi $x>0$

#29 lehoan

lehoan

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vinh
  • Sở thích:Gái, Gái và Gái.

Đã gửi 19-07-2008 - 10:23

Bài 3. Cách giải bài toán này xuất phát từ một bài toán ở đâu đó trong Around the world hay đâu đó.

Ta có với $p$ đủ lớn và $p|n^2+1$. Ta có thể coi $n<p$. Vì vai trò của $n$ và $p-n$ là như nhau nên ta coi $2n<p$. Đặt $p-2n=k$.

Đến đây ta có $p|\dfrac{(p-k)^2}{4}+1$ suy ra $4p|(p-k)^2+4$ hay $p|k^2+4$. Suy ra $k\ge\sqrt{p-4}$. Với $p$ lớn thì ta có ngay $(p-2n)^2\ge p-4$, suy ra $p\ge 2n+\dfrac{1+\sqrt{8n-15}}{2}>2n+\sqrt{2n}$

#30 lehoan

lehoan

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vinh
  • Sở thích:Gái, Gái và Gái.

Đã gửi 19-07-2008 - 10:34

Bài 1: $M,N$ là trung điểm của $BC$ và $AC$ thì $MN||AB$, suy ra $MN$ vuông góc với $CH$. Mà $H$ là giao của $(M,MH)$ và $(N,NH)$ suy ra $CH$ là trục đẳng phương của $(M,MH)$ và $(N,NH)$. Suy ra $CA_1\times CA_2=CB_1\times CB_2$. Suy ra bốn điểm $A_1,A_2,B_1,B_2$ đồng viên, cùng nằm trên đường tròn có tâm là giao của trung trực của $A_1A_2,B_1B_2$ chính là $O$ (tâm ngoại tiếp của tam giác $ABC$). Tương tự ta có ĐPCM.

#31 lehoan

lehoan

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vinh
  • Sở thích:Gái, Gái và Gái.

Đã gửi 19-07-2008 - 12:54

Bài 2 và Bài 4 đáng lẽ không nên ra trong kì thi này, ngoài ra bài 3 cũng không nên, vì các kết quả và cách giải xung quanh nó đã được nhắc đến nhiều.

Năm nay có duy nhất một bài tổ hợp và chỉ thuộc loại dễ.

Nói chung đề năm nay không hay và với đội tuyển VN thì nếu làm đúng sức thì chí ít cũng phải được 4 bài mỗi
bạn. Hi vọng có người giải được bài 3 và 6.

Năm nay thì điểm đạt HCV chắc chắn sẽ cao, chắc là $\ge 30$ điểm. ( không quá cao như năm 2005).

Điểm huy chương đồng chắc cũng phải là 18.

Điểm huy chương bạc thì chắc là cũng phải 24 điểm.

#32 namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH KHTN Tp HCM
  • Sở thích:- Giải tóan, dạy tóan
    - Đá bóng, xem đá bóng và cá cược bóng đá
    - Sưu tầm tem, đọc truyện lịch sử

Đã gửi 20-07-2008 - 15:45

Đề bài năm nay quả là không hay lắm. Bài 2 quá chán. Bài 4 cũng chẳng có gì mới.

Bài số 5 thì nhìn biết ngay là xây dựng song ánh.

Lạ là năm nay thiếu bài tổ hợp khó (chắc năm ngoái các đoàn tung hết chưởng rồi)

Tôi cũng đoán là năm nay điểm của tốp đầu sẽ cao.

#33 DinhCuongTk14

DinhCuongTk14

    Tiến sĩ Diễn đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 749 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK Hà Nội

Đã gửi 20-07-2008 - 18:07

Vn năm nay đứng thứ 12 toàn giải với 2 V + 2B+2 Đ (xét theo tổng điểm+HC ) !đứng đầu vẫn là CHina tiếp Russia rồi đến USA
Contestant↑ [♀♂] P1↑ P2↑ P3↑ P4↑ P5↑ P6↑ Total↓ Rank↑ Rank (%)↑ Award↑
Hoàng Đức Ý 7 7 7 6 0 7 34 29 94.76 Gold medal
Lê Ngọc Anh 7 4 7 7 7 0 32 35 93.63 Gold medal
Đỗ Thị Thu Thảo 7 7 0 7 7 1 29 57 89.51 Silver medal
Nguyễn Phạm Đạt 7 1 0 7 7 1 23 116 78.46 Silver medal
Đặng Trần Tiến Vinh 7 7 0 7 0 0 21 148 72.47 Bronze medal
Dương Trọng Hoàng 7 5 0 7 1 0 20 159 70.41 Bronze medal

Bổ sung thêm :năm nay có
47 HCV ( có tổng điểm >= 31)
100 HCB( >=22)
120HCĐ ( >=15)
103 phần thưởng danh dự

Mọi người vào cho ý kiến về IMO năm nay nhé

#34 Bùi Việt Anh

Bùi Việt Anh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 338 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-07-2008 - 18:16

Trời đất! Tiếc cho ku Đạt quá! Bài 2 mà được có 1 điểm :geq

#35 Primes

Primes

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 20-07-2008 - 18:25

Lần đầu tiên Việt Nam xếp sau Thái Lan . Cũng không hiểu tại sao đội Việt Nam lại không được 42/42 bài số ,đó là bài khá dễ nghĩ . Tiếc cho Đạt ,câu bất đẳng thức bài đó quá đơn giản .
Chúc mừng chuyên Lam Sơn Thanh Hóa :geq
Cũng hơi buồn thật , cứ tình hình này thì liệu đến lúc nào đó chúng ta sẽ bị Thái Lan vượt ???

#36 quytuan

quytuan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết

Đã gửi 20-07-2008 - 18:27

Trời đất! Tiếc cho ku Đạt quá! Bài 2 mà được có 1 điểm :geq

Hơi tiếc cho Phạm Đạt .Giỏi cả Hình học lẫn tổ hợp

#37 Non_Stop

Non_Stop

    LTV School

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
  • Đến từ:Another life

Đã gửi 20-07-2008 - 18:44

Có vẻ điểm không cao lắm,nhưng dù sao các anh ấy vẫn là niềm tự hào của VN.Chúc mừng các anh.
Hi vọng các thế hệ sau của chúng ta sẽ càng ngày càng tiến bộ hơn các thế hệ trước để...vượt lại Thái Lan.:geq
P.M.K

#38 dduclam

dduclam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 364 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:NUCE
  • Sở thích:Toán học, võ thuật và truyện tranh.

Đã gửi 20-07-2008 - 18:46

Tiếc thật, đề năm nay ko khó như mọi năm làm mọi người rất kỳ vọng vào đội tuyển. Tiếc là những người bạn của chúng ta đã ko phát huy hết những thế mạnh của mình.
Dù sao kỳ thi cũng đã kết thúc, chúng ta cùng nâng ly chúc mừng và chào đón các bạn trở về ! :geq
Sống trên đời cần có một tấm lòng
để làm gì em biết không?
để gió cuốn đi...

Khi ước mơ đủ lớn, mọi thứ khác chỉ là vặt vãnh

#39 DinhCuongTk14

DinhCuongTk14

    Tiến sĩ Diễn đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 749 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHBK Hà Nội

Đã gửi 20-07-2008 - 18:54

Hơi tiếc cho VN mình :geq nhưng mà chúc mừng các bạn Lam Sơn -Thanh Hóa đã giải tỏa được cơn khát IMO medals

#40 dtdong91

dtdong91

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1791 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K35-THPT chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An
  • Sở thích:đá bóng ,làm toán ,đọc sách

Đã gửi 20-07-2008 - 20:05

Tiếc cho Đạt quá nhỉ ,
bài BDT có thể quy đồng lên cũng được mà , nếu bí :leq
bài số thì cũng chỉ cần nắm chút kiến thức về số CP mod p : với p=4k+1 thì tồn tại $ n<2p$ sao cho $ n^2+1 \vdots p$ là được
CHúc mừng các anh Ý , Anh mã đáo thành công :geq
12A1-THPT PHAN BỘI CHÂU-TP VINH-NGHỆ AN

SẼ LUÔN LUÔN Ở BÊN BẠN




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh