Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bất đẳng thức và cực trị - Từ phổ thông lên đại học


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH KHTN Tp HCM
  • Sở thích:- Giải tóan, dạy tóan
    - Đá bóng, xem đá bóng và cá cược bóng đá
    - Sưu tầm tem, đọc truyện lịch sử

Đã gửi 15-07-2008 - 23:38

Chào các bạn,

Hiện nay tôi đang dịch 1 tài liệu tiếng Nga khá thú vị có tựa đề "Lý thuyết cực trị qua các ví dụ đơn giản". Tôi lựa chọn bài này vì tôi rất tâm đắc với những gì mà các tác giả viết trong lời nói đầu.

Tôi xin gửi lên đây phần lời nói đầu này để chúng ta cùng chia sẻ và tranh luận.

Ngoài ra, tôi muốn các thành viên diễn đàn cùng đóng góp thêm những ví dụ minh họa cho ý tưởng: các bài toán phổ thông vẫn có thể giải tốt bằng các phương pháp của đại học.

Từ bài viết này, tôi cũng muốn rằng chúng ta sẽ tìm ra một cách nhìn mới cho việc nghiên cứu các bất đẳng thức sơ cấp.

Lý thuyết cực trị qua những ví dụ đơn giản

J.Brinkhouse & V.Iu.Protasov

Trần Nam Dũng, dịch và giới thiệu

Với bài toán về cực đại và cực tiểu chúng ta đều đã gặp ở trường phổ thông, sau đó là trong các kỳ thi tuyển sinh và kỳ thi Olympic, mà ở đó, ngoài một nền tảng toán học tốt, óc phán đoán, còn cần tìm kiếm các cách giải không mẫu mực. Ở đây chúng ta gặp nhiều những bài toán đẹp và với mỗi một bài toán lại phải tìm ra cách giải riêng. Sau đó, ở trường đại học, chúng ta lại gặp các bài toán cực trị trên các giờ học giải tích. Và ở đây tình thế lại đảo ngược: có phương pháp giải mẫu mực nhưng rất ít những ví dụ hay. Đa số các bài toán đều đòi hỏi những tính toán cồng kềnh và nhàm chán. Các thầy giáo đại học đều hiểu việc chuyển đổi suy nghĩ của sinh viên sang hướng giải mới, dứt họ ra khỏi những suy nghĩ ìkiểu phổ thông” khó như thế nào.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng thực hiện một chuyến tham quan tới miền đất của lý thuyết các bài toán cực trị hữu hạn chiều (các khoá học về tối ưu ở các trường đại học thường bắt đầu từ lý thuyết này), hoàn toàn được xây dựng trên các ví dụ, rất ít các giải thích về lý thuyết. Các ví dụ và bài toán được các tác giả thu thập trong quá trình giảng dạy các khoá học về toán và kinh tế tại các trường đại học của Moscow (MGU và NMU) và Hà Lan (các trường đại học của Rotterdam, Delft và Utrect). Theo chúng tôi, mỗi một khoá học ở trường đại học phải thực hiện ba nhiệm vụ chính: dạy, thuyết phục và tạo sự hứng thú. Vì thế các ví dụ và bài toán trước hết phải thú vị, sau đó (và điều này là khó nhất) phải mang tính thuyết phục cao. Mỗi một ví dụ phải nhấn mạnh được sức mạnh của một phương pháp nào đó. Ngoài ra, chứng tỏ rằng, các bài toán olympic, ngoài các cách giải sơ cấp còn có thể giải bằng các phương pháp chuẩn mực đơn giản hơn, đẹp hơn và tự nhiên hơn. Hơn nữa, mở đầu lý thuyết cực trị cho phép tìm ra những chứng minh mới cho các kết quả kinh điển.

Chúng ta sẽ bắt đầu từ những bài toán có thể giải bằng các phương pháp ìphổ thông”: nguyên lý Fermat (đạo hàm tại điểm cực tiểu bằng 0) và định lý tồn tại (định lý Weierstrass về sự đạt được giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm liên tục trên một tập compact) – đây là chủ đề của phần 1. Phần 2 sẽ đề cập đến các bài toán lồi. Chương 3 được dành cho các bài toán với điều kiện ràng buộc, giải được bằng phương pháp nhân tử Lagrange. Trong những ví dụ đề nghị có các định lý kinh điển (định lý cơ bản của đại số, biến đổi dạng toàn phương về các trục chính, định lý Birkhoff, …, một số các bất đẳng thức cổ điển, định luật Snellius về khúc xạ ánh sáng, bài toán Didone, Faniano, Toricelli, mạng Steiner …) cũng như các bài toán tương đối mới của hình học, đại số và giải tích và các bài toán đã được đề nghị trên các cuộc thi olympic toán của học sinh và sinh viên. Một số các bài toán lấy từ toán kinh tế được gom chung vào một phần. Mỗi một phần sẽ được bắt đầu bằng việc nhắc lại các kiến thức lý thuyết căn bản.

Trong bài viết có đề xuất 50 bài toán tự giải. Một phần ba trong số này là các bài toán tương đối khó. Hy vọng bài viết này sẽ bổ ích và thú vị đối với các giảng viên, giáo viên toán, các sinh viên năm đầu và các học sinh chuyên toán.

#2 namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH KHTN Tp HCM
  • Sở thích:- Giải tóan, dạy tóan
    - Đá bóng, xem đá bóng và cá cược bóng đá
    - Sưu tầm tem, đọc truyện lịch sử

Đã gửi 18-07-2008 - 07:32

Ví dụ: Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện $x^4 + 2y^4 = 12$. Hãy tìm GTLN và GTNN của $x + x^2 + 2(y + y^2)$

Ví dụ: Cho x1, x2, ..., xn là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x1+x2+...+xn = a. Tìm giá trị lớn nhất của x1x2...xn.

#3 evarist

evarist

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 87 Bài viết
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 18-07-2008 - 10:47

Thật trùng hợp em cũng có 1 bài toán vui về vật lý liên quan đến chủ đề này mới post bên trang THT.

1 bài toán vật lý khá hay mình nêu ra mọi người cùng tham gia cho vui nhé :
Giả sử rằng có 1 người ở A cách bờ sông muốn tới C ở bờ bên kia như hình vẽ. Chứng minh rằng người đó tới C nhanh nhất khi và chỉ khi người đó chạy theo đường ABC thỏa mãn $ \dfrac{sin m}{sin n}=\dfrac{v_m}{v_n}$với $ v_m$ và $v_n$ lần lượt là vận tốc chạy trên cạn và bơi dưới nước của người đó.
Cái này là tuân theo định luật Snell-Decartes hay theo nguyên lí Fermat "ánh sáng luôn đi theo đường ngắn nhất" nhỉ ? :D chắc kết hợp cả 2 các anh nhỉ <_<

Thầy Dũng xem giải thích em với

Hình gửi kèm

  • untitled.JPG

Nắng mưa là chuyện của trời
Tương tư là chuyện của tôi yêu nàng
Evaristvn

#4 MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Hiệp sỹ
  • 4047 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-07-2008 - 18:55

Để chứng minh kết quả này ta sử dụng nguyên tắc ánh sáng truyền đi theo đường ngắn nhất của Fermat, và bằng cách viết cụ thể công thức sẽ dẫn tới việc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 biến. Phát triển sâu hơn 1 chút có thể đi tới bài toán về đường đoản thời Bernouli

#5 namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH KHTN Tp HCM
  • Sở thích:- Giải tóan, dạy tóan
    - Đá bóng, xem đá bóng và cá cược bóng đá
    - Sưu tầm tem, đọc truyện lịch sử

Đã gửi 18-07-2008 - 21:07

Đây là định luật Snellius. Định luật này suy ra từ nguyên lý Fermat: Ánh sáng luôn đi theo đường với thời gian ngắn nhất. Việc chứng minh có thể dùng đạo hàm hàm 1 biến hoặc hay nhất là đạo hàm theo hướng của một hàm hai biến. Đấy chính là ví dụ số 1 trong bài viết của Brinkhouse và Protasov.

#6 evarist

evarist

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 87 Bài viết
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 19-07-2008 - 21:49

Khi em đọc bài này em đã nghĩ ngay tới nguyên lí Fermat và định luật Snell Decartes trong quang học. Anh Khánh và thầy Dũng có thể trình bày rõ hơn ko ? Chẳng hạn nguyên lí Fermat có thể suy ra từ đâu và thế nào ạ ?
À nhân đây gửi tới anh Khánh và thầy Dũng lời mời sang đây chơi tiện thể ghé vào dự án mà trang toán này đang làm em nghĩ là cũng là dự án mà bên DDTH mình cũng từng định làm nhưng chưa có kết quả ạ
Mathvn

Nắng mưa là chuyện của trời
Tương tư là chuyện của tôi yêu nàng
Evaristvn

#7 dduclam

dduclam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 364 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:NUCE
  • Sở thích:Toán học, võ thuật và truyện tranh.

Đã gửi 12-08-2008 - 07:52

Ngoài ra, tôi muốn các thành viên diễn đàn cùng đóng góp thêm những ví dụ minh họa cho ý tưởng: các bài toán phổ thông vẫn có thể giải tốt bằng các phương pháp của đại học.

Từ bài viết này, tôi cũng muốn rằng chúng ta sẽ tìm ra một cách nhìn mới cho việc nghiên cứu các bất đẳng thức sơ cấp.

Cảm ơn thầy Namdung đã dịch và giới thiệu tới diễn đàn những bài viết hay.

Theo tôi, nói riêng trong lĩnh vực bất đẳng thức, nếu dùng công cụ của bậc ĐH thì có lẽ công cụ sắc bén nhất vẫn là Phương pháp nhân tử Lagrange.
Ưu điểm của phương pháp này là có thể giải quyết một lượng lớn các bài toán bất đẳng thức bằng một cách làm chuẩn mực, không bị sa vào quá nhiều các mẹo mực...
Như vậy, một hướng mới cho việc nghiên cứu bất đẳng thức có thể là vận dụng phương pháp nhân tử Lagrange để tìm ra "điểm rơi" của bài toán (hay là những điều kiện cần thiết nếu muốn xảy ra dấu bằng). Sau khi có điểm rơi rồi, ta hoàn toàn có thể giải lại bằng công cụ sơ cấp.

Tuy nhiên nhược điểm của phương pháp này là bước giải hệ khá phức tạp, nhất là với những bài chứa phân thức hoặc căn thức. Nó thích hợp với những biểu thức dạng đa thức (đối xứng hoặc ko đối xứng). Tất nhiên trong thời đại mà máy tính dần dần thay thế những công việc khó khăn của con người, chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng các phần mềm như Mathematical, Maple,... để hỗ trợ cho việc giải hệ.
Sống trên đời cần có một tấm lòng
để làm gì em biết không?
để gió cuốn đi...

Khi ước mơ đủ lớn, mọi thứ khác chỉ là vặt vãnh

#8 quangvinht2

quangvinht2

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

Đã gửi 17-08-2008 - 02:55

Ví dụ: Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện $x^4 + 2y^4 = 12$. Hãy tìm GTLN và GTNN của $x + x^2 + 2(y + y^2)$

Bài này sao giống đề thi đại học khối A quá vậy thầy? Tác giả là ai dzạ?

#9 namdung

namdung

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1205 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH KHTN Tp HCM
  • Sở thích:- Giải tóan, dạy tóan
    - Đá bóng, xem đá bóng và cá cược bóng đá
    - Sưu tầm tem, đọc truyện lịch sử

Đã gửi 18-08-2008 - 21:00

Bài này sao giống đề thi đại học khối A quá vậy thầy? Tác giả là ai dzạ?


Thì tôi lấy từ đó chuyển sang mà. Tuy nhiên bài này yếu hơn bài ĐH khối A.

#10 quangvinht2

quangvinht2

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

Đã gửi 18-08-2008 - 21:15

Thì tôi lấy từ đó chuyển sang mà. Tuy nhiên bài này yếu hơn bài ĐH khối A.

Bài ĐH Khối A có giả thiết các biến không âm, cứ tưởng thầy ra đề chứ. :D
Hôm chủ nhật buổi chiều mưa quá nên không đi nghe thầy và thầy Khoái trình bày được. Thầy post phần đó lên một mục nào đó đi cho mọi người tham khảo với ạ. Nhất là cái phần dùng Maple dự đoán BĐT ấy. Dùng tay làm sao nghĩ ra? :D

#11 ronaldomu

ronaldomu

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Đã gửi 21-08-2008 - 13:25

Để chứng minh kết quả này ta sử dụng nguyên tắc ánh sáng truyền đi theo đường ngắn nhất của Fermat, và bằng cách viết cụ thể công thức sẽ dẫn tới việc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 biến. Phát triển sâu hơn 1 chút có thể đi tới bài toán về đường đoản thời Bernouli

Anh Khánh nói cụ thể hơn được ko?




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh