Chủ đề này có 13 trả lời

[Harry Potter]

Cho $a,b,c \in$ [0,2] Tìm min của $\dfrac{ a^{2}+b^{2}+c^{2}}{abc}$

[tanlsth]

Hình như là
Sử dụng AM-GM ta có $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc} \geq \dfrac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{abc}=\dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}} \geq \dfrac{3}{2}$ (vì $abc \leq 8$)

[Harry Potter]

Oh Tìm min và max >.< ( Sr Mọi người ^^ )

[tanlsth]

Max là vô cùng mà em .Chọn $a=b=1$ rồi cho $c \to 0$ là thấy

[MyLoveIs4Ever]

có bài nì cũng na ná :
Tìm max $ A=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc} $ với $ a,b,c \in [k,2k] $ $ k >0 $

[phandung]

có bài nì cũng na ná :
Tìm max $ A=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc} $ với $ a,b,c \in [k,2k] $ $ k >0 $

HÌnh như là với k=1 thì max=5 phải cách giải với k chắc cũng là tương tự thui

[Harry Potter]

có bài nì cũng na ná :
Tìm max $ A=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc} $ với $ a,b,c \in [k,2k] $ $ k >0 $

Xin lỗi mọi người >.< Bài mình post lên là bài này nhưng trong trường hợp k=1 .

P/s : Nhục nhã quá , muốn đập đầu chết luôn cho rồi >.<

[tanlsth]

Bằng cách chia đi cho $k$ ta có thể giả sử $a,b,c \in [1,2]$ và giả sử $a \geq b \geq c$ ta có thể chia tiếp cho $c$ và đưa về trường hợp một số bằng $1$ và bài toán trở về tìm max của $\dfrac{x^3+y^3+1}{xy}$ với $x,y \in [1,2]$

Ta chứng minh $x^3+y^3+1 \leq 5xy ,\forall x,y \in [1,2]$

Thật vậy giả sử $x \leq y$

Ta có $\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}+\dfrac{1}{xy} \leq \dfrac{2}{y}+y^2 $

Cái này biến đổi ra là $\dfrac{(x-1)(y^3-x^2-x+1)}{xy} \geq 0$

Cái này đúng do $y^3 \geq x^3 \geq x^2+x-1$

Vậy ta có $$ và $\dfrac{2}{y}+y^2 \leq 5$ tương đương với $\dfrac{(y-2)(y^2+2y-1)}{y} \leq 0$

Bài toán được chứng minh.

[suguku]

mình có cách khác đây.khồg cần chia cho k ta cho y,z có định hàm số biến a là hàm lồi nên có mã tai các điểm biên,tương tự với y,z. ta max hàm số khi x,y,z thuộc {k,2k}
thử các th ta được max bàng 5

[tanlsth]

Thế thì phải đụng tới đạo hàm rồi xét em ạ.Dùng thế này cho nó nguyên thủy .

[suguku]

chứng minh hàm lồi ta có thể dùng 2f(a+b/2)<=f(a)+f(b) được mà

[nguyen phi hung]

có bài nì cũng na ná :
Tìm max $ A=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc} $ với $ a,b,c \in [k,2k] $ $ k >0 $

LỜI GIẢI :
Không mất tính tổng quát ta giả sử : $k \leq a \leq b \leq c \leq 2k$
Đặt $ b = ma , c = na (1 \leq m \leq n \leq 2)$
Ta có :
$A = \dfrac{a^3 + m^3a^3 + n^3a^3}{a.ma.na} = \dfrac{1 + m^3 + n^3}{mn}$
Ta sẽ chứng minh :
$\dfrac{1 + m^3 + n^3}{mn} \leq \dfrac{1 + m^3 + 2^3}{2m}$
$ \Leftrightarrow (2 - n) + m^3(2 - n) + 2n(n^2 - 2^2) \leq 0$
$\Leftrightarrow (2 - n)(1 - 4n + m^3 - 2n^2) \leq 0$
Vì : $2 - m \geq 0 ; 1 - 4m \leq 0 ; m^3 - 2n^2 \leq 2m^2 - 2n^2 \leq 0$
Lại có :
$\dfrac{1 + m^3 + 2^3}{2m} - 5 = \dfrac{m^3 - 10m + 9}{2m} = \dfrac{(m - 1)(m^2 + m - 9)}{2m} \leq 0$
Vậy : $A \leq 5$
$Max A = 5$ xảy ra khi : $(a,b,c) = (k,k,2k)$

[vuthanhtu_hd]

Tìm max $A=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc} $ với $ a,b,c \in [1,2] $

Harry Potter ơi! bài này không khó, tớ đã dưa lời giải lên diễn đàn cách đây khá lâu rồi.Cậu có thể vào đây xem lại lời giải của tớ:
http://diendantoanho...mp;#entry183212

ngoài cách giải ở đó,cậu cũng có thể giải bằng cách dồn biến ra biên
$f(a,b,c) \leq f(a,b,1) \leq f(a,1,1) \leq 5$
(giả sử $1 \leq c \leq b \leq a \leq2$) .

Ngoài ra còn có 1 lời giải khá đẹp mắt của anh Hoàng Ngọc Minh
Giả sử $1 \leq a \leq b \leq c \leq 2$.khi đó
$(a-b)(b^{2}-c^{2}) \geq 0 \Rightarrow b^{3} \leq ab^{2}+bc^{2}-ac^{2}\Rightarrow\dfrac{b^{2}}{ca} \leq \dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-\dfrac{c}{b}$ (1)

Lại có $\dfrac{a^{2}}{bc} \leq \dfrac{a}{c}$ (2)
$\dfrac{c^{2}}{ab} \leq \dfrac{2c}{b}$ (3)

từ (1),(2),(3) anh có $f(a,b,c) \leq (\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b})+(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a})$ (4)
Vì $b\leq c \leq 2 \leq 2b$ nên $(\dfrac{2b}{c}-1)(\dfrac{c}{b}-\dfrac{1}{2}) \geq 0 \Rightarrow \dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b} \leq \dfrac{5}{2}$ (5)

Cũng thế $\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a} \leq \dfrac{5}{2}$ (6)
từ (4),(5),(6) anh có $f(a,b,c) \leq 5$.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=1,c=2$ và các hoán vị.Vậy $maxA=5$

Lời bình:Lời giải này thật ngắn gọn ,đơn giản và đẹp mắt.Anh Minh tìm ra nó năm anh học lớp 9 đấy!
To Hary Potter: Chúc cậu học giỏi, bọn mình mãi là bạn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 03-08-2008 - 11:38

[vuthanhtu_hd]

bài toán tổng quát với a,b,c thuộc [k:2k] giải tương tự!
chuồn thôi ! -------->Bye

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 03-08-2008 - 11:40