Chủ đề này có 6 trả lời

[songuyento]

Cho $H$ là trực tâm của tam giác nhọn $ABC$. Đường tròn $\Gamma_A$ có tâm là trung điểm cạnh $BC$ và đi qua $H$, cắt đường thẳng $BC$ tại $A_1$, $A_2$. Các điểm $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$ xác định tương tự. Chứng minh rằng 6 điểm $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$ cùng thuộc 1 đường tròn.

[tientthegioi]

Thấy dễ nên post lời giải luôn: ()
Gọi $M_1,M_2,M_3$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB.$
Ta có: $M_2H $ vuông góc với $AH$ nên $AH$ là tiếp tuyến và $AC_1C_2$ là cát tuyến.
Do đó:$ AH^2=AC_1AC_2.$
Tương tự :$AH^2=AB_1AB_2.$
Do đó$ C_1,C_2,B_1,B_2$ nội tiếp.
Tương tự , và thêm 1 tí đánh giá nhỏ suy ra 6 điểm nằm cùng nằm trên 1 đường tròn.

[Meveryday]

Bác post luôn cái hình lên đi!
Cái hình của em, sao không giống bài bác làm nơi! Chắc do em vẽ sai!
Chứ nếu như hình của em thì nó dễ quá sức mong đợi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Meveryday: 16-07-2008 - 23:48

[Mashimaru]

Thấy dễ nên post lời giải luôn: ()
Gọi $M_1,M_2,M_3$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB.$
Ta có: $M_2H $ vuông góc với $AH$ nên $AH$ là tiếp tuyến và $AC_1C_2$ là cát tuyến.
Do đó:$ AH^2=AC_1AC_2.$
Tương tự :$AH^2=AB_1AB_2.$
Do đó$ C_1,C_2,B_1,B_2$ nội tiếp.
Tương tự , và thêm 1 tí đánh giá nhỏ suy ra 6 điểm nằm cùng nằm trên 1 đường tròn.

Em xin lỗi, anh nhầm rồi, $AH$ không phải là tếp tuyến của đâu ạ...

Lời giải thật sự vẫn rất đẹp và đơn giản:

Gọi $M_a,M_b,M_c$ là trung điểm của $BC,CA,AB$ ta có $\{H\}=\(M_b\) \cap \(M_c\)$ và $AH\perp M_bM_c$ nên $AH$ là trục đẳng phương của $\(M_b\)$ và $\(M_c\)$.

Từ đó suy ra: $P_{A/\(M_b\)}=P_{A/\(M_c\)}\Rightarrow\overline{AC_1}.\overline{AC_2}=\overline{AB_1}.\overline{AB_2}\Rightarrow B_1,B_2,C_1,C_2$ thuộc cùng 1 đường tròn.

Lý luận tương tự với $A_1,A_2,B_1,B_2$ ta được kết quả 6 điểm này thuộc cùng 1 đường tròn.

Kết thúc chứng minh!

[MyLoveIs4Ever]

1 cách khác Gọi $ E,F,G $ là trung điểm 3 cạnh $ BC,CA,AB $ .......



Cách đặt tên theo chiều kim đồng hồ $ A,C_1,G,C_2,B,A_1,E,A_2,C,B_1,F,B_2,B_2,A,C_1 $



Ta có : $ AH \perp BC $ $ GF // BC $ => $ AH \perp GF $ ...

Áp dụng kết quả sau:


Trong 1 tứ giác có 2 đường chéo vuông góc thì tổng bình phương 2 cạnh đối bằng nhau

( CM cái nì bằng vecto quá wen thuộc )


Xét trong tứ giác $ AGHF $ như vậy thì $ AG^2-GH^2=AF^2-FH^2 $


=> $ P_{A/(G)} = P_{A/(F)} $ cm hoàn toàn tuơng tự ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MyLoveIs4Ever: 17-07-2008 - 10:55

[Allnames]

Em cũng có 1 cách nhưng nhìn các anh làm đẹp thế thì em ko dám viết nũa r?#8220;i
Cách giải của em là tính $OA_1$... và so sánh chúng (bằng công cụ vectow thì điều này rất đơn giản)
Trong đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp.Cách này thì chỉ dễ nghĩ ra thôi ạ còn cách các anh là hay nhất r?#8220;i
@ không phải em ko post mà em gõ mãi ko được các anh thông cảm(các mod cứ xóa bài này cũng được ạ)
@Mashimaru: EM chỉ dám nhận là em thôi ạ,em mới lớp 10,thôi.Còn kết quả của anh là chính là của em đó ạ(em ko post được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Allnames: 18-07-2008 - 10:14

[Mashimaru]

Em cũng đã thử nghĩ đến cách giải của anh Allnames khi tìm cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp lục giác này.

Em tính được: $OX^2=\dfrac{HA^2+HB^2+HC^2}{2}-R^2,\forall X\in\{A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2\}$, không biết có giống anh không ạ?