Chủ đề này có 6 trả lời

[lehoan]

Cho số nguyên tố lẻ p thỏa mãn điều kiện http://dientuvietnam...imetex.cgi?(a_n)_{n=0}^{\infty} được xác định như sau :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?b_n là ước lẻ lớn nhất của http://dientuvietnam...imetex.cgi?(a_n) là dãy tuần hoàn và hãy tìm chu kì nhỏ nhất của dãy đó

[tienquan88]

bài này là câu dễ nhất trong đề thi TST năm 1999
các ban thử trong TH tồn tại h để 2^{h} 1(mod p) chưa

[hoang]

Bai nay ket qua la so so chan trong khoang (p/2,p)

[tanlsth]

xin lỗi là bài này tớ nhớ lầm
kết quả không phải là (p-1)/2 mà chính xác là

[(p-1)/4]

[duongthudao]

Mình mới chứng minh được nó tuần hoàn .Còn việc chỉ ra chu kỳ nhỏ nhất thì mình chưa chỉ ra được.Có ai giúp mình được không nhỉ .Nhưng mình nghĩ có lẽ chu kỳ của nó phải có liên quan đến a

[lehoan]

Bạn có thể xem bài toán này trong quyển IMO shortlist của thầy NHO năm 1994 phần số học bài có số M+N-1 là số nguyên tố ấy.

[lehoan]

Solution:


Ta thấy http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a_i chẵn và http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?<p với mọi http://dientuvietnam...gi?i=0;1;2;....
Và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{p}{2}<a_i<p với http://dientuvietnam...cgi?i=0;1;2.... http://dientuvietnam...in/mimetex.cgi?

Suy ra tồn tại http://dientuvietnam...tex.cgi?a_i=a_j suy ra http://dientuvietnam...tex.cgi?b_i=b_j suy ra http://dientuvietnam...i 1}=a_{j 1}... suy ra dãy tuần hoàn.
Lại thấy với mọi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?i thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?b_i=b_j thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_i|a_j hoặc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_j|a_i
Mà từ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi? ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{1}{2}<\dfrac{a_i}{a_j}<2. Suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_i=a_j.
Do đó dãy tuần hoàn ngay từ đầu.
Gọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?T là chu kì cơ sở của dãy. Suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_0=a_T.
và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_1;a_2;...;a_T là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?T số chẵn phân biệt thuộc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(\dfrac{p}{2};p).

Từ đây ta xét trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_1a_2..a_T=2^{t_1+t_2+...+t_T}b_1b_2...b_T.
Mà http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0<b_i<\dfrac{p}{2} suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(***)
Mặt khác ta có số mũ của 2 trong tích các số thuộc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(\dfrac{p}{2};p) là
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sum\limit_{t=1}^{+\infty}(&#091;\dfrac{p}{2^t}]-&#091;\dfrac{p-1}{2^{t+1}}]=\dfrac{p-1}{2}

Lại có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_1;a_2;...;a_T là các số chẵn khác nhau thuộc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(\dfrac{p}{2};p)
do đó số mũ của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?2 trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(****).

Từ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(***) và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(****) ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?t_1+t_2+...+t_T=\dfrac{p-1}{2} Suy ra a_1;a_2;..;a_T là tất cả các số chẵn trong khoảng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(\dfrac{p}{2};p) do đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?T=&#091;\dfrac{p+1}{4}].