Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ thỏa điều kiện:
$f\(x+f\(y\)\)=3f\(x\)+f\(y\)-2x,\forall x,y\in\mathbb{R}$
#1
Đã gửi 24-07-2008 - 23:32
Mashimaru
-
- Hiệp sỹ
-
- 264 Bài viết
Thượng sĩ
Và như thế, hạnh phúc thật giản dị, nhưng đó là điều giản dị mà chỉ những người thực sự giàu có trong tâm hồn mới sở hữu được.
#2
Đã gửi 25-07-2008 - 12:13
MyLoveIs4Ever
-
- Thành viên
-
- 441 Bài viết
Sĩ quan
Đặt $ f(0)=a $
Thay $ x $ bởi $ -f(y) $ ta có: $ a=3(-f(y))+3f(y) $
Thay $ x $ bởi $ -f(x) $ ta có $ f(f(y)-f(x))= f(y)-f(x)+a $
Thay $ x $ bởi $ f(y)-f(x) $ ta có : $ f(2f(y)-f(x))= 3a+2f(y)-f(x) $
Thay $ x $ bởi $ 2f(y)-f(x) $ ta có : $ f(3f(y)-f(x))= 9a+3f(y)-f(x) $
Mặt khác $ 2x-a=3f(x)-f(x+a) $
Do tập $ VT $ là $ R $ nên tập $ VP $ cũng là $ R $
Vì thế tồn tại $ t \in R $ sao cho $ t=3f(u)-f(v) $
Nên $ f(t)= f(3f(u)-f(v))= 9a+t $
Thay vào pt đã cho $ => 18a= 0 => a=0 $
Vậy $ f(x)=x $ là hàm càn tìm $ \forall x \in R $
Thay $ x $ bởi $ -f(y) $ ta có: $ a=3(-f(y))+3f(y) $
Thay $ x $ bởi $ -f(x) $ ta có $ f(f(y)-f(x))= f(y)-f(x)+a $
Thay $ x $ bởi $ f(y)-f(x) $ ta có : $ f(2f(y)-f(x))= 3a+2f(y)-f(x) $
Thay $ x $ bởi $ 2f(y)-f(x) $ ta có : $ f(3f(y)-f(x))= 9a+3f(y)-f(x) $
Mặt khác $ 2x-a=3f(x)-f(x+a) $
Do tập $ VT $ là $ R $ nên tập $ VP $ cũng là $ R $
Vì thế tồn tại $ t \in R $ sao cho $ t=3f(u)-f(v) $
Nên $ f(t)= f(3f(u)-f(v))= 9a+t $
Thay vào pt đã cho $ => 18a= 0 => a=0 $
Vậy $ f(x)=x $ là hàm càn tìm $ \forall x \in R $
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
