Chủ đề này có 7 trả lời

[tronghieu]

Cho $p \in P,r \in Z^+$ thỏa mãn $r<p $và $(-1)^r.r! \equiv -1 (mod p).$CMR
$(p-r+1)!\equiv-1(mod p)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tronghieu: 01-08-2008 - 09:56

[Allnames]

Ko biết bài này đúng ko nhỉ,Bạn kiểm tra r=3,p=5 xem thế nào

[Mashimaru]

Bài này sai rõ ràng rồi chứ anh Allnames nhỉ???

Giả thiết $\(-1\)^r\equiv -1 \(mod p\)$ chẳng nói lên gì cả, chỉ cần $r$ lẻ là xong.

Với lại...đề cho $z$ để làm gì thế ạ???

[tronghieu]

em đã sửa lại đề rồi

[Mashimaru]

Ủa, em thấy đề vẫn sai mà anh. Ví dụ, với $p=5$ và $r=3$ ta có $\(-1\)^3\times 3!=-6\equiv -1\(mod 5\)$ nhưng $\(5-3+1\)!=6\equiv 1\(mod 5\)$...

[Mashimaru]

Em định sửa lại đề của anh thành $\(p-r+1\)!\equiv \pm 1\(mod p\)$ nhưng như thế vẫn không được, ví dụ với $p=11$ và $r=9$, anh tự thử xem nhé, em lười viết số lên quá

Nếu đề sửa lại thành $\(p-r-1\)!\equiv 1 (mod p\)$ thì đúng. Em xin giải như sau ạ:

Theo định lý Wilson: $\(p-1\)!\equiv -1\(mod p\)$. Ta viết lại đồng dư thức Wilson như sau:

$\(p-r-1\)!\times\[\(p-r\)\(p-r+1\)...\(p-1\)\]\equiv -1\(mod p\)$

Mặt khác $\forall i=\overline{1,p-1}$ ta đều có $\(p-i\)\equiv -i \(mod p\)$ nên:

$\[\(p-r\)\(p-r+1\)...\(p-1\)\]\equiv \(-1\)^r\times r!\equiv -1 \(mod p\)$ (theo giả thiết)

Từ đó suy ra $\(p-r-1\)!\times\(-1\)\equiv -1\(mod p\)$ hay $\(p-r-1\)!\equiv 1\(mod p\)$.

Kết thúc chứng minh.

[DinhCuongTk14]

Chú ý tới công thức$ {p-1\choose r }=(-1)^{r}(mod p )$ nhé

[Mashimaru]

Chú ý tới công thức$ {p-1\choose r }=(-1)^{r}(mod p )$ nhé

Công thức này thì sao ạ?

$C_{p-1}^{r}\equiv \(-1\)^r \(mod p\)\Rightarrow \(p-1\)!\equiv \(-1\)^r\times r!\times \(p-r-1\)!\(mod p\)$
(vì $p$ nguyên tố nên $\gcd{\(\(p-r-1\)!;p\)}=\gcd{\(r!;p\)}=1$.

Từ đó dựa vào giả thiết và định lý Wilson thì ta cũng có:

$\(p-r-1\)!\times\(-1\)\equiv\(-1\)\(mod p\)$ hay $\(p-r-1\)!\equiv 1\(mod p\)$.

Đây cũng là kết quả em chứng minh ở trên mà anh!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mashimaru: 01-08-2008 - 11:46