Chủ đề này có 6 trả lời

[Mashimaru]

Cho $BC$ là dây cố định của đường tròn $\(O\)$. Điểm $A$ di động trên cung lớn $BC$ của $\(O\)$. $\(I\)$ là đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$, tiếp xúc với $BC,CA,AB$ theo thứ tự tại $A_1,B_1,C_1$. Các đường tròn ngoại tiếp $\triangle AOB$ và $\triangle AOC$ cắt $OC_1,OB_1$ theo thứ tự tại $X,Y$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp $\triangle OXY$ tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $A$ di động trên cung lớn $BC$ của $\(O\)$.

P/S: Happy birthday Thiên Ân

[NCTuanLamSon]

Cái này nếu mình ko nhầm có phải là suy ra từ bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $OXY=const $

[Mashimaru]

Rất tiếc là anh đã nhầm ạ >.<

Để thấy rõ hơn điều đó, em xin thêm vào 1 câu:

Hãy tìm vị trí của $A$ trên cung lớn $BC$ của $\(O\)$ sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp $\triangle OXY$ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất?

[Primes]

Cho $BC$ là dây cố định của đường tròn $\(O\)$. Điểm $A$ di động trên cung lớn $BC$ của $\(O\)$. $\(I\)$ là đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$, tiếp xúc với $BC,CA,AB$ theo thứ tự tại $A_1,B_1,C_1$. Các đường tròn ngoại tiếp $\triangle AOB$ và $\triangle AOC$ cắt $OC_1,OB_1$ theo thứ tự tại $X,Y$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp $\triangle OXY$ tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $A$ di động trên cung lớn $BC$ của $\(O\)$.

P/S: Happy birthday Thiên Ân

Bài này cũng hay đó .
Nghịch đảo cực O phương tích $R^2$ .Khi đó
$A\to {A},B \to B, C\to C$
$A_1\to A_1^{*},B_1\to B_1^{*},C_1\to C_1^{*}$
Khi đó $AB,BC,CA$ biến thành các đường tròn $(OAB),(OBC),(OCA)$
Từ giả thiết (I) biến thành $(I^{*})$ tiếp xúc với cả 3 đường tròn trên .
Từ đó dễ cm được $X\to C_1 ,Y\to B_1$
Do đó để cm $(OXY)$ tiếp xúc với đường tròn cố định ta cm $B_1C_1$ tiếp xúc với đường thẳng hoặc đường tròn cố định .
Đây là bài toán cơ bản . Gọi M là trung điểm BC . Khi đó $d(M,B_1C_1)=\dfrac{BC}{2.\cos{\dfrac{A}{2}}}$
Tức là $B_1C_1$ tiếp xúc đường tròn cố định .Ta có đpcm .

[Mashimaru]

Vâng, anh Primes giải đúng rồi ạ.

Mọi người "xơi" luôn câu sau đi! Cũng vẫn sử dụng phép nghịch đảo tâm $O$, phương tích $R^2$ đó thôi ạ

[NCTuanLamSon]

Sr mình nhớ nhầm cái bài toán cơ bản trên kia thành tâm O ^^!, thử lại cái max min vậy
$r = \dfrac{XY}{sinB_1OC_1}=\dfrac{OX.B_1C_1}{OB_1.sinB_1OC_1}=\dfrac{R^2.B_1C_!}{OB_1.OC_1.sinB_1OC_1}=\dfrac{R^2}{d}$ trong đó $d=d_{O/(B_1C_1)}$ do đó r phụ thuộc vào d
d min khi ABC cân tại A --> r max khi ABC cân tại A
d max khi A trùng B cái này hơi nghi

[Mashimaru]

Vâng, anh làm đúng rồi ạ.

Có lẽ em nhầm đề rồi ạ. Vì khi $A\equiv B$, $\triangle ABC$ suy biến thành đường thẳng, không tìm được max, hoặc max là $\infty$