Đến nội dung

Hình ảnh

Topic Hệ phương trinh

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 25 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Tôpic này tập hợp các bài giải hệ pt trong box Đại số và tổ hợp (THPT)

Bài 1 (kummer). Giải hệ phương trình sau: $ \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{7x+y} + \sqrt{4x+2y+1} =6 \\ \sqrt{x+y+1} +x-y =1 \\ \end{array} \right. $

Bài 2 ( nhiepphong ). Giải hệ: $\left\{ \begin{array}{l} x^3 + 1 = 3y \\ y^3 + 1 = 3x \\ \end{array} \right. $

Bài 3 ( Hongchosoi ). Giải hệ: $ \left\{ \begin{array}{l} ax + by = (x - y)^2 \\ by + cz = (y - z)^2 \\ cz + ax = (z - x)^2 \\ \end{array} \right. $
Với a, b, c là các số dương.

Bài 4 ( lonely boy ). Giải hệ: $\left\{ \begin{array}{l} 2x+3=17x^2 +13xy\\ 2y- 4=10y^2 +13xy\\ \end{array} \right. $

Bài 5 (princes of darkness)giải hệ pt sau:$\left\{ \begin{array}{l} (x^2+1)(y^2+1)=10xy\\ (xy+x+y+1)^2=27xy\\ \end{array} \right. $

Bài 6 (vanchanh123)giải hệ pt sau $ \left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=5\\x^2-6y^2-xy+11y=3\end{array}\right.$

Bài 7 (auhongan au)giải hệ pt sau $ \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{xy}{x+y}=1 \\ \dfrac{yz}{y+z}=2 \\ \dfrac{zx}{z+x}=3 \\ \end{array} \right. $

Bài 8 (chuyentoan)Giải hệ phương trình:$ \left\{ \begin{array}{l} yz=x-y-z \\ zx=y-z-x \\ xy=z-x-y \\ \end{array} \right. $

Bài 9 (phuonglinh)Giải hệ phương trình:$ \left\{ \begin{array}{l} 1+2x+x^2 = y^3 \\ 1+2y+y^2 = z^3 \\ 1+2z+z^2 = x^3 \\ \end{array} \right. $

Bài 10 (QUANVU)Giải hệ phương trình:$ \left\{\begin{array}{l}x^2-4\sqrt{3x-2} +10=2y \\ y^2-6\sqrt{4y-3} +11=x \\ \end{array}\right.$


Bài 11 (David)Giải hệ phương trình sau đây: $ \left\{\begin{array}{l}5x+y=11,99\\x^5y=2^6\end{array}\right. $

Bài 12 (kummer) Giải hệ phương trình:$ \left\{\begin{array}{l} \dfrac{2}{ x^2 + y^2 } + \dfrac{1}{xy}=2 \\ x^3 + y^3 =2\\ \end{array}\right.$

Bài 13 (kummer) Cho trước tam giác ABC. Giải hệ phương trình: :$ \left\{\begin{array}{l} (x+ \dfrac{1}{x})cos( \dfrac{A}{2})=(y+ \dfrac{1}{y})cos( \dfrac{B}{2})=(z+ \dfrac{1}{z})cos( \dfrac{C}{2}) \\ xy+yz+zx=1 \end{array}\right.$

Bài 14 (kummer)Giải hệ phương trình: :$ \left\{\begin{array}{l} (x+y) + (z^2-8z+14) \sqrt{x+y-z} =1 \\ 2x+5y +\sqrt{xy+z} =3 \end{array}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 06-09-2011 - 17:30


#2
binh_Dan2005

binh_Dan2005

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết
toi da giai roi ko tim duoc .day la hpt vo ngiem .de ban co van de roi
x^3+1=2y
y^3+1=2x
doi voi de cua ban la x=2;y=3 thoa man pt dau tien nhung pt thu hai thi ko the.ban nen xem la de di

đúng là vô nghiệm thật,vì nếu là hệ đối xứng thì không được rồi,vì x+y=S=-1/3,
xy=P=28/27 không thỏa S^2>=4P,nên hệ vô nghiệm

do la thuong hop x=y con truong hop kia thi sao

giải hệ :x^3+1=3y
             y^3+1=3x             :ph34r:  :fight  ;)

http://dientuvietnam....cgi?x^3-3x 1=0
đặt x=2t ;ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?t=cos\alpha
có <img src="http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?cos3\alpha =-\dfrac{1}{2}" $ <img src="http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Rightarrow \alpha =?? \Rightarrow t=?? \Rightarrow x=??" $
PTLG trên cho 3 nghiệm của x nên ko cần xét thêm |t|>1 :pm

x^3 - y^3 = 3y - 3x
gs x :D y :Rightarrow VT :D 0 : VP :D 0 :Rightarrow VT :D VP
"=" :Leftrightarrow x=y
:Rightarrow x,y là nghiệm của PT a^3 - 3a + 1=0 (1)
(1) là PT bậc 3 :Rightarrow luôn có nghiệm

tai sao pt bâc 3 lai luôn co ngiem thuc?ma muon giai no phai ntn co can thiet phai dat an phu ko?hoac bien doi pt thanh tich thanh dang tich ?

f(a)= a^3 - 3a = -1
f(a) là hàm lẻ => tăng từ - :D đến + :sum :Rightarrow luôn cắt
đường thẳng nằm ngang y=-1 tại ít nhất 1 điểm :Rightarrow PT có ít nhất 1 nghiệm.
Còn việc cm PT bậc 3 luôn có nghiệm phải thông qua cách giải tổng quát của PT bậc 3 (dùng lượng giác)
Xét PT t^3 + a t^2 + bt +c =0
Đặt t= y -a/3 :Rightarrow (y-a/3)^3 + a (y-a/3)^2 + b(y-a/3) + c=0
=> y^3 - py = q với p= (a^2)/3 - b và q= (-2 a^3)/27 + ab/3 -c
* p=0 => y= : :sqrt[3]{p}
*p>0 đặt y= 2 :sqrt (p/3).x
4 x^3 - 3x =m =3 :sqrt{3}q/(2p :sqrt (p)
/m/ :D 1 đặt m= cos :D :Rightarrow x= cos (:D /3) hoặc x=cos (:Rightarrow :pm 2 :pi )/3
/m/>1 m= (1/2)./ d^3 + 1/( d^3)/ :Rightarrow d^3 = m :pm :sqrt{ m^2 - 1 } x=1/2(d+1/d)=1/2 :sqrt[3]{m+ :sqrt{ m^2 -1 } +sqrt[3]{m- :sqrt{ m^2 -1 }
p<0 đặt y= 2 :sqrt{-p/3} 4 x^{3} +3x=m
đặt m= (1/2)./ d^3 -1/d^3/ ( d^3 = m :pm :sqrt{ m^2+1 }
x=(1/2)./d-(1/d)/=1/2( :sqrt[3]{ m+ :sqrt{m^2-1} } +sqrt[3]{m- :sqrt{ m^2-1 } })

#3
auhongan_au

auhongan_au

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
tuong đuoong vooi
vì x,y,z có vai trò nhu nhau nẽn 0<= X<=y<=z suy ra
-(xy+yz+zx)>=-3xy
*ax+by+cz=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx>=x^2+y^2+z^2-3xy
đê cho hệ có ngiịm thoa maan đk a,b,c>0 thi x=y=z=0
he coo ngieem duy nhaat (0,0,0)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi auhongan_au: 05-03-2005 - 18:21


#4
Lonely boy

Lonely boy

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết
Bai nay minh ra roi, phai cong 2 pt roi chuyen ve'.


#5
auhongan_au

auhongan_au

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
hpt tuong duong voi
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y^2(4-y)^2+z^2(4-z)^2+x^2(4-x)^2=0
từ đây ta có hpt
http://dientuvietnam...metex.cgi?y(4-y)=0
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x(4-x)=o

bài này có thể áp dụng nếu http://dientuvietnam...tex.cgi?x Y z=o thì
________________________
Song Hà đã chỉnh sửa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi auhongan_au: 25-03-2005 - 21:33


#6
song_ha

song_ha

    Sống là chiến đấu

  • Pre-Member
  • 321 Bài viết
[quote name='auhongan_au' date='Mar 23 2005, 09:18 PM'] hpt tuong duong voi
http://dientuvietnam...tex.cgi?y^2(4-y)^2+z^2(4-z)^2+x^2(4-x)^2=0
từ đây ta có hpt
http://dientuvietnam...metex.cgi?y(4-y)=0
http://dientuvietnam...metex.cgi?x(4-x)=o

bài này có thể áp dụng nếu http://dientuvietnam...tex.cgi?x Y z=o thìhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Leftrightarrow
http://dientuvietnam...metex.cgi?f(w^8)=f(w): vô ngiệm
_Nếu Đặt ...
<span style='color:red'>...Này sông cứ chảy như ngày ấy
Có người đi quên mất lối về.....</span>

#7
MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Hiệp sỹ
  • 4047 Bài viết
mình còn 1 cách nữa, có điều với cách này chỉ tính được tổng x+y+z, phải giải hệ 3 biến 3 ẩn: x+y+z,xy+yz+zx,xyz
-----
baì này có trong cuốn 101 bài toán của PĐC, euler có cách nào hay thì post lên nhé.okie?

#8
[email protected]

[email protected]

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
[QUOTE]Bài này không khó, mình có cách giải như sau:
Từ hệ PT đã cho suy ra x :vdots 0, y :beer 0. Do vây ta có:
(x+1/x).(y+1/y)=10
(x+2+1/x).(y+2+1/y)=27
Đặt x+1/x=a, y+1/y=b, mọi chuyện trở nên đơn giản.

#9
long10t

long10t

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết
em có cach này không biết có đúng không,xem hộ em với
gọi ba phương trình làn lượt là (1),(2),(3)
từ x-4=-(2-y)^2 =>x<4 tương tự:y ,z<4
-xét x<=0 ,=> y,z<=0khi đó dễ có nghiệm khi giả sử x>=ytù đó suy ra x>=y>=zsuy ra x=y=zthay vào...
-xét 0<x<4thay (3)vào(2)ta có y=x(4-x)(4-x(4-x))=x(4-x)(2-x)^2
thay vào (1)=>x=x(4-x)(2-x)^2*(4-x(4-x)(2-x)^2)(*)do x><0 nen(*)tương đương
(4-x)(2-x)^2*( 4-x(4-x)(2-x)^2)=1dặt (4-x)(2-x)^2=t đưa về phương trình bâcj hai:x*t^2-4t+1=0khi đó có hai nghiệm t=2- :sqrt{4-x} (4) hoặc t=2+ :sqrt{4-x}(5)
đặt :sqrt{4-x} =a suy ra(4) trở thành:a^2(2-a^2)^2=2-a phá ngoặc ta có phưong trình có nghiệm a=1từ đó suy ra x,y,z
tương tự xét (5),ta có pt vô nghiệm

#10
lehoan

lehoan

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1213 Bài viết
Chứng minh http://dientuvietnam...?sin^2a=sin^28a giải ra tìm a ta có nghiệm của hệ

#11
vicky361080

vicky361080

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết
cách giải của mình rất đơn giản, các bạn có thể dùng phương pháp "hoán vị vòng quanh". do vai trò của x,y,z là như nhau nên ta chỉ cần giải ra 1 ẩn rồi suy ra ần còn lại.
Đặt f(x) = x.(4-x) trên D
f'(x)= -2x+4
f''(x) = -2 < 0 :Rightarrow f là hàm giảm trên D
giả sử x :vdots y :Rightarrow f(x) :vdots f(y) :Rightarrow z :Leftrightarrow x :Rightarrow
f(z) :vdots f(x) :Rightarrow y :in z
:Rightarrow x=y=z
thay vào hệ, ta có: x=x.(4-x)
:in x^2 - 3x = 0
:Rightarrow x=0 hoặc x=3
vậy nghiệm của hệ là: (0,0,0) và (3,3,3)

#12
Trytolive

Trytolive

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
Cộng hai vế của hệ rồi biến đổi thành:



#13
QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết

Cộng hai vế của hệ rồi biến đổi thành:

Cảm ơn bạn ,không ngờ đơn giản vậy :wub:
1728

#14
LEND_MILK

LEND_MILK

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

cách giải của mình rất đơn giản, các bạn có thể dùng phương pháp "hoán vị vòng quanh". do vai trò của x,y,z là như nhau nên ta chỉ cần giải ra 1 ẩn rồi suy ra ần còn lại.
Đặt f(x) = x.(4-x) trên D
f'(x)= -2x+4
f''(x) = -2 < 0 :beer f là hàm giảm trên D
giả sử x :D y :D f(x) :oto: f(y) :approx z :D x :Rightarrow
f(z) :D f(x) :Rightarrow y :in z
:Rightarrow x=y=z
thay vào hệ, ta có: x=x.(4-x)
:beer x^2 - 3x = 0
:Rightarrow x=0 hoặc x=3
vậy nghiệm của hệ là: (0,0,0) và (3,3,3)

Chết chửa!f''(x)<0 thì f'(x)giảm thôi chứ,f(x) đâu đã đánh giá được.Bạn sai rồi đó.
[COLOR=blue][I]
TA LÀ AI GIỮA DÒNG ĐỜI HỐI HẢ?
SỐNG CHO AI VÀ SỐNG ĐỂ LÀM GÌ?

#15
quocbao

quocbao

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết
Theo mình bài của bạn Vicky gần đúng rồi , bạn chỉ sai ở chổ f(x) giảm trên D .

F(t) = -t^2 + 4t
F'(t) = -2t + 4 = 0 <=> t = 2

BBT sẽ là tăng / - vô cực -> 2 , giảm từ 2 -> + vô cực

Mình cần phải chứng minh xyz chỉ nằm một bên , hoặc > 2 , hoặc < 2 m chứ ko có nằm lung tung . Sau đó mới dùng được tính chất tăng giảm của hàm để giải tiếp như Vicky

Khồng biết có đúng ko :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quocbao: 29-06-2005 - 13:24


#16
manocanh

manocanh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 452 Bài viết
http://dientuvietnam...?x^2 y^2=-y(x z)
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x^2+x+y=-2yz
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?3x^2+8y^2+8xy+8yz=2x+4z+2

#17
kummer

kummer

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 235 Bài viết
Hệ này có nghiệm duy nhất (x,y,z) = ( 0,1/2,-1/2 ) ... Nói chung những hệ phương trình không chứa hàm siêu việt thường có cách giải tổng quát là sử dụng phép thế ...kĩ hơn đối với bài này là việc biểu diễn hai ẩn y và z theo x....Đối với z ta thu được và đối với y ta có
chia trường hợp cho x=0 thì thu được nghiệm như trên...còn với x khác 0 khử x ở y rồi thu về pt hệ quả là pt bậc 4,cm pt này vô nghiệm bằng Cauchy............

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kummer: 31-08-2005 - 13:20


#18
manocanh

manocanh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 452 Bài viết
ngòai ra bài này có cách giải cực ngắn = pp tọa độ

#19
kummer

kummer

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 235 Bài viết
Đây là 1 bài vô cùng dễ...từ giả thiết : ta có điều tương đương là ..do và 64>0 nên suy ra xy>0 hay nói cách khác x,y cùng dấu...
Xét x,y cùng âm suy ra vô lí do 5x+y =11,99... như vậy x,y cùng dương...áp dụng bđt Cauchy cho 5x+y = x+x+x+x+x+y :) 12 > 11,99( tự cm) như vậy pt vô nghiệm...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kummer: 04-09-2005 - 15:44


#20
auhongan_au

auhongan_au

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
dat xy=p ,x+y=s roi giai hoac dung bat dang thuc




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh