Cho $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $ là đa thức hệ số thực và P(x) có 3 nghiệm thực phân biệt $P (0) < 0$
Cmr :
$2b^3 + 9a^2d - 7abc \leq 0.$
Đa thức bậc 3
Bắt đầu bởi DinhCuongTk14, 28-08-2008 - 20:00
#1
Đã gửi 28-08-2008 - 20:00
DinhCuongTk14
-
- Hiệp sỹ
-
- 749 Bài viết
Tiến sĩ Diễn đàn Toán
Đề bài
Cho $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $ là đa thức hệ số thực và P(x) có 3 nghiệm thực phân biệt $P (0) < 0$
Cmr :
Cho $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $ là đa thức hệ số thực và P(x) có 3 nghiệm thực phân biệt $P (0) < 0$
Cmr :
#2
Đã gửi 28-08-2008 - 21:33
tientthegioi
-
- Thành viên
-
- 189 Bài viết
Trung sĩ
Gọi 3 nghiệm là $x_1,x_2,x_3.$Đề bài
Cho $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $ là đa thức hệ số thực và P(x) có 3 nghiệm thực phân biệt $P (0) < 0$
Cmr :$2b^3 + 9a^2d - 7abc \leq 0.$
Vì $P(0) <0 $ nên$ d<0$. Vì all các nghiệm đều dương nên ta có:
$2\dfrac {b^3}{a^3} + 9\dfrac {d}{a} - 7\dfrac {b}{a}\dfrac {c}{a}\le 0$
Hay$ \Leftrightarrow - 2(x_1 + x_2 + x_3)^3 - 9(x_1x_2x_3) + 7(x_1 + x_2 + x_3)(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1)\le0$
Chuẩn hóa: $ x_1+x_2+x_3=1$ ta nhận được BDT:
$- 2 - 9x_1x_2x_3 + 7(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1)\le0$
Hay$ \Leftrightarrow \prod\left(\dfrac {7}{9} - x_i\right)\le \dfrac {64}{729}$
Sử dụng Cauchy với all thừa số bên trái đều dương và if có 1 thừa số âm thì hiển nhiên đúng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tientthegioi: 28-08-2008 - 21:33
Tỏ ra mình hơn người chưa phải là hay. Con mèo hạnh phúc thì liếm mép của mình.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
