Chủ đề này có 105 trả lời

[LukaTTK]

Bài 3:

P = $\frac{1}{x^{2}+y^{2}} + \frac{3}{4xy} = \frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}$

Áp dụng BĐT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$ Ta có:

P $\geq \frac{4}{(x+y)^{2}}+ \frac{1}{4xy}$

Lại có $x^{2} + y^{2} \geq 2xy\Rightarrow 4xy\leq (x+y)^{2} \Rightarrow \frac{1}{4xy}\geq \frac{1}{(x+y)^{2}}$

Do  đó $P\geq \frac{5}{(x+y)^{2}} = 5$

Đẳng thức xảy ra khi x=y=0.5

[LukaTTK]

Bài 1:

Ta có : $x^{2}+y^{2}\geq x+y \Leftrightarrow 2x^{2} + 2y^{2}\geq 2x+2y$

$\Leftrightarrow 2x^{2}+2y^{2}-2x-2y+2\geq 2$

$\Leftrightarrow (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+x^{2}+y^{2}\geq 2       (1)$

Do $(x-1)^{2}\geq 0,(y-1)^{2}\geq 0,X^{2}+y^{2}\geq 2xy\geq 2$ nên BĐT (1) đúng .

Vậy $x^{2} +y^{2}\geq x+y$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 02-06-2013 - 19:02

[nguyentrungphuc26041999]

Ủng hộ 1 bài sử dung PP trên:
a + b + c = 3
CMR:
$a^2 + b^2 + c^2 \geq 2abc +1$

a+b+c>3

=>1>abc

a^2+b^2+c^2>(a+b+c)^2/3=3>2abc+1

[Vo Sy Nguyen]

Thử đặt một ra một bài toán BĐT theo "kiểu" sau:

Cho a, b, c là các số dương xét biểu thức sau
$P = (\dfrac{1}{ab} - 2)(\dfrac{1}{bc} - 2)(\dfrac{1}{ca} - 2)$

Nếu $a = b = c = \dfrac{1}{3}$
thì $P = (\dfrac{1}{a^{2} }-2)^{3}=7^{3}=343$
Nếu $a = b = \dfrac{1}{4}$ còn $c = \dfrac{1}{2}$
thì $P = (\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{4}}-2)(\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{2}}-2)(\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{2}}-2) = 504$

"Kết luận" ta có bài BĐT sau:

Cho a, b, c là 3 số dương có tổng a + b + c = 1
CMR $(\dfrac{1}{ab}-2)(\dfrac{1}{bc}-2)(\dfrac{1}{ca}-2)$ $7^{3}$

Ai chứng minh được BĐT này giơ tay!

[anhdat98vip]

 cho x,y,z ,n nguyên dương. chứng minh x^n +y^n khác z^n với n>2

giải hộ em với

[vietquang1998]

Bài 3.Cho $x,y>0$ thỏa mãn $x+y=1$
Tìm GTNN của $P= \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{3}{4xy}$

P = $\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{3}{4xy}=(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy})+\frac{1}{4xy}$

 

* Áp dụng bđt $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$

 

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{x^{2}+y^{2}+2xy}=\frac{4}{(x+y)^{2}}=4$ (1)

 

* $2\sqrt{xy}\leq x+y=1$

=> $4xy\leq 1$

=> $\frac{1}{4xy}\geq 1$ (2)

 

Cộng (1) và (2), ta có:

P$\geq 5$

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=$\frac{1}{2}$

[minhhieuchu]

Cho $a,b,c,d\geq 0$ $a+b+c+d=1$. Tìm max$P=\left | a-b \right |+\left | a-c \right |+\left | a-d \right |+\left | b-c \right |+\left | b-d \right |+\left | c-d \right |$

Bài này hình như ra max = 3 thì phải.

[Trang Luong]

Bài này hình như ra max = 3 thì phải.

Cách làm :

Giả sử $a\geq b\geq c\geq d\geq 0$

$\Rightarrow P=a-b+a-c+a-d+b-c+b-d+c-d=3a+b-c-3d= 3\left (a+b+c+d \right )-2b-4c-6d\leq 3$

[minhhieuchu]

Cách làm :

Giả sử $a\geq b\geq c\geq d\geq 0$

$\Rightarrow P=a-b+a-c+a-d+b-c+b-d+c-d=3a+b-c-3d= 3\left (a+b+c+d \right )-2b-4c-6d\leq 3$

Cách làm này ổn đấy nhưng mà cần phải chỉ ra "="
Ở bài bạn "=" a=1;b=c=d=0
Ngoài ra "=" a=b=c=0;d=1                                  a=c=d=0;b=1                                                      a=b=d;c=1

[Ngocquynh98]

BT áp dụng.
Bài 1. Cho $a,b\in R,ab \geq 1$.CM $a^{2}+b^{2} \geq a+b$
 

Ta cần CM:

$\left ( a+b \right )^2 \leq 2\left ( a^2+b^2 \right )\leq \left ( a^2+b^2 \right )^2$

 

BĐT: $\left ( a+b \right )^2 \leq 2\left ( a^2+b^2 \right )$ thì dễ r

 

CM $2\left ( a^2+b^2 \right )\leq \left ( a^2+b^2 \right )^2$

$\Leftrightarrow$ $a^4+2a^2b^2+b^4 - 2a^2 -2b^2 \geq 0$

$\Leftrightarrow (a^4-2a^2b^2+b^4)+4a^2b^2-2a^2-2b^2\geq 0$

$\Leftrightarrow (a^2-b^2)^2-2(a^2+b^2)+4a^2b^2\geq (a^2-b^2)^2-2(a^2+b^2)+4ab\geq 0$ ( dễ chứng minh $4a^2b^2\geq 4ab$)

$\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)^2-2(a^2-2ab+b^2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2[(a+b)^2-2]\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+b^2+2ab-2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a^2+b^2+2ab-2)\geq 0$

$\Leftrightarrow 2ab-2\geq 0$

$\Leftrightarrow ab-1\geq 0$ ( luôn đúng theo GT)

Dấu"=" xảy ra khi a=b=1

[viendanho98]

$(1+x)^{3}+(1+y)^{3} \leq (1+x)^{4}+(1+y)^{4}$
$\leftrightarrow (1+x)^{3}[(x+1)-1]+(1+y)^{3}[(y+1)-1] \geq0$
$\Leftrightarrow x(1+x)^{3}+y(1+y)^{3} \geq0$
$\Leftrightarrow (x^4+y^4)+3(x^3+y^3)+3(x^2+y^2)+x+y \ge 0$ (khai triển )

$\Leftrightarrow x^{4}+y^{4}+3(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+3(x^{2}+y^{2})+x+y \geq 0$ (B.Đ.T này
đúng vì $x+y \geq 0$)
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=0 \Leftrightarrow a=b=1$.

vd 2 lam cach khac duoc.

ta cm bdt $a^4+b^4 \geq a^3b+ab^3$

cm (1)$\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+ab+b^2)\geq 0$

 

$\Rightarrow 2(a^4+b^4)\geq a^3b+ab^3 +a^4+b^4$

$\Leftrightarrow 2(a^4+b^4)> (a+b)(a^3+b^3)$ vi a+b$\geq 2$

$\Rightarrow a^4+b^4\geq a^3+b^3$(dpcm)$

[Master Key 99]

cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1 CMR tổng(cyc) a/(a^2+1) <= 9/10

[forever friend]

ta có: $\frac{3}{a+b}=\frac{1}{\frac{a}{3}+2\frac{b}{6}}\leq \frac{1}{\frac{\frac{3}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{b}}{9}}=\frac{1}{a}+\frac{4}{3b}$(BĐT côsi

ah làm lại cho em hiểu hơn đk không

[Le Thi Van Anh]

$a,b\in R,ab \geq 1$.CM $a^{2}+b^{2} \geq a+b$

Theo cauchy:

\[
a^2 + b^2 \ge 2ab
\]


để bất đẳng thức xảy ra


\[
\begin{array}{l}
< = > 2ab \ge a + b \\
< = > a + b \ge 2 \\
\end{array}
\]

mà \[
ab \ge 1
\]
=>\[
a^2 - 2a + 1 \ge 0 (đúng)
\]
vậy BĐT đã dc chứng minh

 

tại sao 2ab$\geqslant$a+b$\Leftrightarrow$a+b$\geq$2

[Van Chung]

Lời kết. Như vậy với việc đổi biển khéo léo ta có thể đưa việc xét một biểu thức phức tạp về một biểu thức đơn giản hơn,phù hợp với trình độ THCS. Những VD trên là đơn giản (không có VD nào có thể coi là khó!)và những lời giải trên là để minh họa cho kĩ thuật nên có thể chưa phải là Lời giải hay nhất,ngắn gọn nhất. Tác giả cho rằng việc đưa ra quá nhiều VD sẽ chỉ nhàm chán và vô vị ,vì vậy chỉ đưa ra vài VD đơn giản để bạn đọc có thể nắm bắt được ý tưởng nhanh chóng. Khi đã nắm bắt được ý tưởng ,bạn hoàn toàn có thể ''đánh bay'' một lớp các bài toán như vậy và đương nhiên bạn cũng có thể tự tạo ra các bài toán kiểu này. Dưới đây cũng là những BT đơn giản để các bạn thử nghiệm!

Bạn có thể chỉ cho mình vài kĩ thuật để dặt các ẩn được ko? Mà đây là phương pháp chọn điểm rơi phải không bạn thầy mình nói phương pháp này lớp 8 chưa đc học nhưng mình thấy phương pháp này đơn giản và rất hay. Mong học đc chút ít từ bạn.

Tks nhìu

[Hoang Tung 126]

cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1 CMR tổng(cyc) a/(a^2+1) <= 9/10

Ta có :$\sum \frac{a}{a^2+1}=\sum \frac{a}{a^2+9.\frac{1}{9}}\leq \sum \frac{a}{10\sqrt[10]{\frac{a^2}{9^9}}}=\frac{1}{10}.\sum \sqrt[10]{9^9.a^8}=\frac{\sqrt[10]{9^9}}{10}.\sum \sqrt[10]{a^8}=\sum \sqrt[10]{a.a.a.a.a.a.a.a.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}}$ 

Đến đây lại cosi tiếp

[Van Chung]

Hôm trước thầy mình có cho một bài CM BĐT mình dùng phương pháp này ko biết có đúng ko mong ng' chỉ cho:

Cho ba số x,y,z thỏa mãn x+y+z=3. tìm giá trị lớn nhất của B=xy+yz+zx.

Cách làm của mình:

Đặt x=1+a-b;y=1-b+c;z=1-a+c

B=xy+yz+zx=(1+a-b)(1-b+c)+(1-b+c)(1-a+c)+(1-a+c)(1+a-b)

  =$1+a-b+b+ab-b^2-c-ac+bc+1+b-c-a-ab+ac+c+bc-c^2+1-a+c+bc+ac-a^2-b+ab-bc$

  $3-\frac{1}{2}[(b-c)^2+(a-b)^2+(c-a)^2]\leq 3$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}.

[thuc4022]

rất hay. thank thầy.

ps: (Tây hà tower, Chung cư Tây Hà)

[NMCT]

Bài của Vd_tan thì đồng bậc 1 cái,cauchy 3 số là được

rõ hơn tí đi 

[NMCT]

a+b+c>3

=>1>abc

a^2+b^2+c^2>(a+b+c)^2/3=3>2abc+1

z nhờ anh giải giúp bài này ";

cho 3 số x, y,z thỏa mãn : $-1\leq x,y,z\geq 3 và x+y+z=3$

chứng minh rằng : $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 11$

cảm ơn anh nhiều