Chủ đề này có 105 trả lời

[lehoangtrung]

Em có thể trình bày luôn lời giải của mình được ko?

ai giải hộ mình bằng pp đổi biến với ạ 

[the man]

e  đóng góp 1 bài này đơn giản để mọi người làm cho vui ))

Đề:Cho x,y là các số dương thỏa mãn x+y=2.Chứng minh: $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$

Theo mình thì làm thế này cho hay

$x^2y^2(x^2+y^2)=2xy(x^2+y^2).\frac{xy}{2}\leq \left ( \frac{2xy+x^2+y^2}{2} \right )^2.\frac{(x+y)^2}{8}=4.\frac{1}{2}=2$

[the man]

bài này làm ntn ạ

cho a,b,c la 3 số dương thoả mãn a+b+c=1

cmr $\frac{1}{a.c}+\frac{1}{b.c}$ $\geq 16$

cam on

Có thể làm như này

$\frac{1}{a.c}+\frac{1}{b.c}=\frac{a+b}{abc}=\frac{(a+b+c)^2(a+b)}{abc}\geq \frac{4c(a+b).(a+b)}{abc}\geq \frac{4c.4ab}{abc}=16$

[tranductucr1]

Có thể làm như này

$\frac{1}{a.c}+\frac{1}{b.c}=\frac{a+b}{abc}=\frac{(a+b+c)^2(a+b)}{abc}\geq \frac{4c(a+b).(a+b)}{abc}\geq \frac{4c.4ab}{abc}=16$

cách khác ạ 
$\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}=\frac{1}{c}\times \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq \frac{1}{c}\times \frac{4}{a+b}\geq \frac{16}{(a+b+c)^{2}}=........$

[tienanh2001]

em có bài này thì phải làm ntn ạ?

CM bđt sau với a,b,c là các số thực dương:

$\frac{a+b}{a+c}+\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\leq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienanh2001: 27-06-2015 - 21:20

[ttztrieuztt]

bài này C/M sao ạ

cho a, b, c khác nhau c/m

$\frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}+\frac{(b+c)^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{(c+a)^{2}}{(c-a)^{2}}\geq 2$

[ttztrieuztt]

quên còn bài này nữa cho $a\geq b\geq 1$

c/m:  $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$

[hoctrocuaHolmes]

bài này C/M sao ạ

cho a, b, c khác nhau c/m

$\frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}+\frac{(b+c)^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{(c+a)^{2}}{(c-a)^{2}}\geq 2$  $(*)$

Đặt $x=\frac{a+b}{a-b},y=\frac{b+c}{b-c},z=\frac{c+a}{c-a}$

$\rightarrow BDT(*)\Leftrightarrow $$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 2$
Nhận thấy $(x-1)(y-1)(z-1)=(x+1)(y+1)(z+1)$
$\Leftrightarrow xy + yz +zx = -1$
Mà $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq -2(xy+yz+xz)$$=2$ (đpcm)

[hoctrocuaHolmes]

quên còn bài này nữa cho $a\geq b\geq 1$

c/m:  $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 

$\sqrt{b-1}\leq \frac{b-1+1}{2}=\frac{b}{2}\rightarrow a\sqrt{b-1}\leq \frac{ab}{2}\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq \frac{ab+ab}{2}=ab(đpcm)$

[ttztrieuztt]

cảm ơn thế còn bài này làm sao hở bác júp nốt nha

cho $x, y \neq 0$

cmr   $x^{4}+y^{4}\leq \frac{x^{6}}{y^{2}}+\frac{y^{6}}{x^{2}}$

[hoctrocuaHolmes]

cảm ơn thế còn bài này làm sao hở bác júp nốt nha

cho $x, y \neq 0$

cmr   $x^{4}+y^{4}\leq \frac{x^{6}}{y^{2}}+\frac{y^{6}}{x^{2}}$

Ta có $x^{8}+y^{8}\geq \frac{(x^{4}+y^{4})^{2}}{2}\geq (x^{4}+y^{4}).x^{2}y^{2}\Leftrightarrow \frac{x^{8}+y^{8}}{x^{2}y^{2}}\geq x^{4}+y^{4}\Leftrightarrow \frac{x^{6}}{y^{2}}+\frac{y^{6}}{x^{2}}\geq x^{4}+y^{4}(đpcm)$

[ttztrieuztt]

cho a, b, c t/m $0\leq a, b, c\leq 1$ CMR:

$\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}<2$

dấu "=" xảy ra khi nào?

[Truong Gia Bao]

cho a, b, c t/m $0\leq a, b, c\leq 1$ CMR:

$\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}<2$

dấu "=" xảy ra khi nào?

Đề bài bạn viết không có dấu "=" sao lại hỏi dấu "=" xảy ra khi nào  

Không mất tính giả sử $a\geq b\geq c$: $\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\leq \frac{b}{bc+1}+\frac{c}{bc+1}=\frac{b+c}{bc+1}$(1)

Mà $0\leq b,c\leq 1= > (1-b)(1-c)\geq 0= > bc+1\geq b+c= > \frac{b+c}{bc+1}\leq 1$(2)

Do $0\leq a,b,c\leq 1= > a\leq 1\leq 1+bc= > \frac{a}{bc+1}\leq 1$(3)

Từ (1),(2),(3) rồi cộng lại ta thu được đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

[ttztrieuztt]

Đề bài bạn viết không có dấu "=" sao lại hỏi dấu "=" xảy ra khi nào  

 

nhầm nguyên đề là còn 2 câu này nữa nè (yêu cầu y chang nha)

1)  $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

2)  $2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\leq 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

dấu "=" xảy ra khi nào

[Hoang Nhat Tuan]

em có bài này thì phải làm ntn ạ?

CM bđt sau với a,b,c là các số thực dương:

$\frac{a+b}{a+c}+\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\leq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Lời giải: 

Đặt: $x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$

Khi đó BĐT được viết lại thành:

$\frac{x-1}{y+1}+\frac{y-1}{z+1}+\frac{z-1}{x+1}\geq 0$

Chứng minh BĐT này rất đơn giản:

Khai triển trực tiếp nó ra ta thu được BĐT sau:

$(xy^2+yz^2+zx^2)+(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)+3$

Sử dụng BĐT AM-GM dễ thấy:

$xy^2+yz^2+zx^2\geq 3xyz=3$

Và $x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\geq x+y+z$

BĐT được chứng minh

[Hoang Nhat Tuan]

nhầm nguyên đề là còn 2 câu này nữa nè (yêu cầu y chang nha)

1)  $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

2)  $2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\leq 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

dấu "=" xảy ra khi nào

Câu 2: 2) Từ giả thiết suy ra:$\sum (1-a^2)(1-b)\geq 0=>\sum a^2b+3\geq \sum a^2+\sum a$

Dễ thấy $\sum a^2+\sum a\geq 2(a^3+b^3+c^3)$ theo giả thiết

BĐT được chứng minh

[ttztrieuztt]

Câu 2: 2) Từ giả thiết suy ra:$\sum (1-a^2)(1-b)\geq 0=>\sum a^2b+3\geq \sum a^2+\sum a$

Dễ thấy $\sum a^2+\sum a\geq 2(a^3+b^3+c^3)$ theo giả thiết

BĐT được chứng minh

bác làm câu 2: 1) nốt rồi làm thêm bài này nữa nè

$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \sqrt[4]{ab}$ với a, b > 0

[hoctrocuaHolmes]

bác làm câu 2: 1) nốt rồi làm thêm bài này nữa nè

$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \sqrt[4]{ab}$ với a, b > 0

$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \sqrt[4]{ab}\Leftrightarrow \frac{2(\sqrt[4]{ab})^{2}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \sqrt[4]{ab}\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \frac{1}{2\sqrt[4]{ab}}\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}\geq 2\sqrt[4]{ab}\Leftrightarrow (\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})^{2}\geq 0$ 

(luôn đúng)

Ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 17-07-2015 - 11:31

[hoctrocuaHolmes]

nhầm nguyên đề là còn 2 câu này nữa nè (yêu cầu y chang nha)

1)  $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

2)  $2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\leq 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

dấu "=" xảy ra khi nào

2.1. Từ gt ta suy ra $(1-a^{2})(1-b)\geq 0\Rightarrow (1-a^{2})(1-b)+(1-b^{2})(1-c)+(1-c^{2})(1-a)\geq 0\Leftrightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+3\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c$

Dễ thấy $3\geq a+b+c$ (được suy ra từ gt)

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}< 1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a(đpcm)$

Dấu''='' không xảy ra

[ttztrieuztt]

2.1. Từ gt ta suy ra $(1-a^{2})(1-b)\geq 0\Rightarrow (1-a^{2})(1-b)+(1-b^{2})(1-c)+(1-c^{2})(1-a)\geq 0\Leftrightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+3\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c$

Dễ thấy $3\geq a+b+c$ (được suy ra từ gt)

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}< 1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a(đpcm)$

Dấu''='' không xảy ra

Dấu = có xảy ra đó bác, bác c/m đi chiều em làm cho