Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Một kĩ thuật chứng minh B.Đ.T


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 105 trả lời

#1 vuthanhtu_hd

vuthanhtu_hd

    Tiến sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1189 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:ngủ ^^

Đã gửi 11-09-2008 - 19:51

*
Phổ biến

Bài toán BĐT thường là nội dung khó với các bạn học sinh trung học cơ sở. Một lí do đơn giản vì đây là dạng toán ''mới mẻ'' với các bạn và khi giải các bài toán BĐT các bạn thường cảm thấy ''lúng túng'' không biết phải sử dụng phương pháp gì?Tuy nhiên, trong nhiều bài toán BĐT có điều kiện chúng ta có thể dựa vào điều kiện của biến để đặt ẩn phụ đưa bài toán về dạng đơn giản có thể đánh giá được trực tiếp mà không cần sử dụng đến các công cụ ''đao to búa lớn''. Bài viết dưới đây dựa trên ý tưởng của My Teacher - thầy Hoàng Văn Đắc. Chúng ta bắt đầu với một bài toán đơn giản sau

Ví dụ 1. CMR Với $a,b \in R$ và $a+b=4$ thì $a^{4}+b^{4} \geq 32$

Nhận xét rằng một biểu thức nhiều biến thường đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất khi tất cả các biến bằng nhau ( tổng quát hơn là trường hợp một số biến bằng nhau) hoặc một số biến có giá trị trên biên. Điều này gợi ý cho ta cách đổi biến như sau

Lời giải
Do $a+b=4$ nên có thể đặt $a=2+x,b=2-x$ với $x\in R$
Ta có $a^{4}+b^{4}=(2+x)^{4}+(2-x)^{4}=2x^{4}+48x^{2}+32 \geq 32$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=0 \Leftrightarrow a=b=2$.
Như vậy bằng cách đổi biến thích hợp chúng ta đã đưa bài toán về dạng đơn giản có thể đánh giá trực tiếp được và BĐT chúng ta sử dụng chỉ là BĐT cơ bản nhất $x^{2} \geq 0, \forall x\in R$

Tiếp theo chúng ta xem xét một vài ví dụ khác. Qua đó hi vọng các bạn học sinh THCS sẽ có được một cách nhìn mới với những bài toán BĐT kiểu này.

Ví dụ 2. Cho $a,b \in R$ thỏa mãn $a+b \geq 2$. CMR
$$a^{3}+b^{3} \leq a^{4}+b^{4}$$

Lời giải.
Đặt $a=1+x,b=1+y$. Từ $a+b \geq 2$ ta có $x+y \geq 0$
BĐT cần chứng minh tương đương với
$$(1+x)^{3}+(1+y)^{3} \leq (1+x)^{4}+(1+y)^{4}$$

$\Leftrightarrow x(1+x)^{3}+y(1+y)^{3} \geq0$

$\Leftrightarrow x^{4}+y^{4}+3(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+3(x^{2}+y^{2})+x+y \geq 0$
(BĐT này đúng vì $x+y \geq 0$)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$$ x=y=0 \Leftrightarrow a=b=1$$.

Ví dụ 3. Cho $a,b,c\in R$ thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR
$$a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca \geq 6$$

Lời giải.
Vì $a+b+c=3$ nên có thể đặt $a=1+x ,b=1+y, c=1-x-y$ với $x,y \in R$
Ta có
$$a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca=(1+x)^{2}+(1+y)^{2}+(1-x-y)^{2}+$$
$$+(1-x)(1-y)+(1-y)(1-x-y)+(1-x-y)(1-x)$$
$$=x^{2}+xy+y^{2}+6=(x+\dfrac{y}{2})^{2}+\dfrac{3y^{2}}{4}+6\geq 6$$
Đó là đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$$ y=0,x+\dfrac{y}{2}=0 \Leftrightarrow a=b=c=1$$


Ví dụ 4. Cho $a,b,c,d\in R$ thỏa mãn $a+b+c+d=1$. CMR
$$(a+c)(b+d)+2ac+2bd \leq \dfrac{1}{2}$$

Lời giải.
Vì $a+b+c+d=1$ nên có thể đặt
$$a=\dfrac{1}{4}+x+z , b= \dfrac{1}{4}-x+z ,c=\dfrac{1}{4}+y-z ,d= \dfrac{1}{4}-y-z $$
Ta có
$VT=(a+c)(b+d)+2ac+2bd$
$ =(\dfrac{1}{2}+x+y)(\dfrac{1}{2}-x-y)+2(\dfrac{1}{4}+x+z)(\dfrac{1}{4}+y-z)+2(\dfrac{1}{4}-x+z)(\dfrac{1}{4}-y-z)$

$= \dfrac{1}{2}-(x-y)^{2}-4z^{2} \leq \dfrac{1}{2}$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$$ x-y=0,z=0 \Leftrightarrow a=c ,b=d$$

Ví dụ 5. Cho $a,b,c,d\in R$ thỏa mãn $a+b=c+d$. CMR
$$c^{2}+d^{2}+cd \geq 3ab$$

Lời giải.
Do $a+b=c+d$ nên ta đặt $c=a+x , d=b-x$ với $x\in R$
Ta có
$$c^{2}+d^{2}+cd =(a+x)^{2}+(b-x)^{2}+(a+x)(b-x)=(a-b+\dfrac{x}{2})^{2}+\dfrac{3x^{2}}{4}+3ab\geq 3ab$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$$a-b+\dfrac{x}{2}=x=0 \Leftrightarrow a=b=c=d$$

Ví dụ 6. Cho $x,y\in R,x<2$ và $x+y>5$. CMR
$$5x^{2}+2y^{2}+8y>62$$
Lời giải.
Vì $x<2,x+y>5$ nên ta đặt $x=2- t , x+y=5+u$ ($t,u >0$)
$$5x^{2}+2y^{2}+8y=5(2-t)^{2}+2(3+t+u)^{2}+8(3+t+u)=62+2(t+u)^{2}+5t^{2}+20u>62$$
Ta có đpcm

Ví dụ 7. Cho$ x,y\in R ,x \leq 1 ,x+y \geq 3$. Tìm GTNN của $F= 3x^{2}+y^{2}+3xy$
Lời giải.
Đặt $x=1-a, x+y =3+b$ thì $y=2+a+b;a,b \geq 0 $
Ta có
$3x^{2}+y^{2}+3xy=3(1-a)^{2}+(2+a+b)^{2}+3(1-a)(2+a+b)$
$=a^{2}+b^{2}-5a+7b-ab+13$
$=(a-\dfrac{b}{2}-\dfrac{5}{2})^{2}+\dfrac{3b^{2}}{4}+\dfrac{9b}{2}+\dfrac{27}{4} \geq \dfrac{27}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$$ a=\dfrac{5}{2},b=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-3}{2},y=\dfrac{9}{2}$$

Ví dụ 8 Cho $x,y \in R,x+y=3 ,x \leq 1$. CMR
$$y^{3}-x^{3}-6y^{2}-x^{2}+9y \geq 0$$

Lời giải.
Đặt $x=1-w$ thì $y=2+w$($w \geq 0$)
$$y^{3}-x^{3}-6y^{2}-x^{2}+9y\geq0 \Leftrightarrow (2+w)^{3}-(1-w)^{3}-6(2+w)^{2}-(1-w)^{2}+9(2+w) \geq0 $$
$\Leftrightarrow w(w-1)^{2} \geq 0$ (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$$ w \in$ \{0;1\} \Leftrightarrow (x;y)\in \{(1;2),(0;3)\}$$

Lời kết. Như vậy với việc đổi biển khéo léo ta có thể đưa việc xét một biểu thức phức tạp về một biểu thức đơn giản hơn,phù hợp với trình độ THCS. Những VD trên là đơn giản (không có VD nào có thể coi là khó!)và những lời giải trên là để minh họa cho kĩ thuật nên có thể chưa phải là Lời giải hay nhất,ngắn gọn nhất. Tác giả cho rằng việc đưa ra quá nhiều VD sẽ chỉ nhàm chán và vô vị ,vì vậy chỉ đưa ra vài VD đơn giản để bạn đọc có thể nắm bắt được ý tưởng nhanh chóng. Khi đã nắm bắt được ý tưởng ,bạn hoàn toàn có thể ''đánh bay'' một lớp các bài toán như vậy và đương nhiên bạn cũng có thể tự tạo ra các bài toán kiểu này. Dưới đây cũng là những BT đơn giản để các bạn thử nghiệm!

BT áp dụng.
Bài 1. Cho $a,b\in R,ab \geq 1$.CM $a^{2}+b^{2} \geq a+b$
Bài 2.Cho $x,y\in R, x+y=3,x \leq 1$.CM
a)$x^{3}+y^{3} \geq 9$
b)$2x^{4}+y^{4} \geq 18$

Bài 3.Cho $x,y>0$ thỏa mãn $x+y=1$
Tìm GTNN của $P= \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{3}{4xy}$

Bài 4 Cho $a,b \in R,a+b>8 ,b>3$
CMR $27a^{2}+10b^{3}>945$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 18-03-2012 - 20:39

Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.

______________________
__________________________________
Vu Thanh TuUniversity of Engineering & Technology


#2 vd_tan

vd_tan

    Chuyên toán

  • Thành viên
  • 137 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa
  • Sở thích:Học toán

Đã gửi 29-10-2008 - 14:45

Ủng hộ 1 bài sử dung PP trên:
a + b + c = 3
CMR:
$a^2 + b^2 + c^2 \geq 2abc +1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vd_tan: 29-10-2008 - 14:47


#3 vuthanhtu_hd

vuthanhtu_hd

    Tiến sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1189 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:ngủ ^^

Đã gửi 23-11-2008 - 20:15

Ủng hộ 1 bài sử dung PP trên:
a + b + c = 3
CMR:
$a^2 + b^2 + c^2 \geq 2abc +1$

Em có thể trình bày luôn lời giải của mình được ko?

Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.

______________________
__________________________________
Vu Thanh TuUniversity of Engineering & Technology


#4 tuan101293

tuan101293

    Trung úy

  • Thành viên
  • 999 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Bóng bàn ,cầu lông ,học toán ,.......

Đã gửi 25-11-2008 - 20:40

Bài của Vd_tan thì đồng bậc 1 cái,cauchy 3 số là được

KT-PT


Do unto others as you would have them do unto you.


#5 tuan101293

tuan101293

    Trung úy

  • Thành viên
  • 999 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Bóng bàn ,cầu lông ,học toán ,.......

Đã gửi 04-12-2008 - 21:43

Anh 'vuthanhtu_hd' cho cái chuyên đề này vào file PDF được ko ạ?Thanks.

KT-PT


Do unto others as you would have them do unto you.


#6 inhtoan

inhtoan

    <^_^)

  • Thành viên
  • 964 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HN city

Đã gửi 05-12-2008 - 13:46

Anh 'vuthanhtu_hd' cho cái chuyên đề này vào file PDF được ko ạ?Thanks.

Theo nguyện vọng ^_^
File gửi kèm  bdt_vuthanhtu.pdf   158.32K   848 Số lần tải

Link dự phòng: http://www.mediafire.com/?2quemyqynoy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 23-11-2011 - 19:47


#7 vuthanhtu_hd

vuthanhtu_hd

    Tiến sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1189 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:ngủ ^^

Đã gửi 05-12-2008 - 17:41

sao mà nó giống cái phương pháp THTT đã đăng ồy ý nhỷ....dù sao đây cũng là một ý tưởng hay!


À ý tưởng này là của thầy giáo anh,bài viết của thầy đăng trên THTT số tháng 1/2002 nhưng gần đây thật kì lạ trên THTT số tháng 4/2008 lại đăng một bài viết với các ví dụ rất giống với bài viết năm 2002 nhưng lại là của tác giả khác .

Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.

______________________
__________________________________
Vu Thanh TuUniversity of Engineering & Technology


#8 math_galois

math_galois

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 313 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:TP HCM

Đã gửi 20-12-2008 - 11:18

Cho em hỏi lại cái vd 8. Tại sao điều kiện w :D 0 ạ. Vì đề bài cho x :D R nên w :D R chứ nhỉ?

#9 vuthanhtu_hd

vuthanhtu_hd

    Tiến sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1189 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:ngủ ^^

Đã gửi 20-12-2008 - 11:49

Cho em hỏi lại cái vd 8. Tại sao điều kiện w :D 0 ạ. Vì đề bài cho x :D R nên w :D R chứ nhỉ?


À em chú ý $x = 1-w$ mà $x \leq 1$ nên $w \geq 0$

Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.

______________________
__________________________________
Vu Thanh TuUniversity of Engineering & Technology


#10 suguku

suguku

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thái bình

Đã gửi 20-12-2008 - 13:03

cũng có một kĩ thuật hay khác áp dụng bài toán sau như một bổ đề
cho a,b,c>0 và x >0 bất kì thì $\
(a - x)^2 + (b - x)^2 + (c - x)^2 + \dfrac{2}{x}(a - x)(b - x)(c - x) \ge 0
$
số 2/x có thể thay đổi tùy theo ý muốn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi suguku: 20-12-2008 - 13:08

Sông dài cuồn cuộn ra khơi ,
Anh hùng : sóng dập, cát vùi thiên thu...
Dở hay, thành bại nào đâu?
Bể dâu chớp mắt , nghoảnh đầu thành mơ !
Non xanh còn đó trơ trơ ,
Tà dương lần lửa sưởi hơ ánh hồng.
Lão tiều gặp lại ngư ông ,
Bên sông gió mát , trăng trong , kho trời.
Rượu vò lại rót khuyên mời ,
Cùng nhau lại kể chuyện thời xa xưa...
Kể ra biết mấy cho vừa?
Nói cười hỉ hả , say sưa quên đời...

#11 vuthanhtu_hd

vuthanhtu_hd

    Tiến sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1189 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:ngủ ^^

Đã gửi 20-12-2008 - 14:18

cũng có một kĩ thuật hay khác áp dụng bài toán sau như một bổ đề
cho a,b,c>0 và x >0 bất kì thì $\
(a - x)^2 + (b - x)^2 + (c - x)^2 + \dfrac{2}{x}(a - x)(b - x)(c - x) \ge 0
$
số 2/x có thể thay đổi tùy theo ý muốn


Em có thể đưa ra một vài ứng dụng của kĩ thuật em nói đến được không?

Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.

______________________
__________________________________
Vu Thanh TuUniversity of Engineering & Technology


#12 suguku

suguku

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thái bình

Đã gửi 21-12-2008 - 17:45

vi du nhu bai 2 trong de thi toan hoc tre thang 11 vua roi
1cho x,y,z thuộc (0,1) và $
(x + y + z - 2)^2 = 2xyz
$ tìm min $
\sum {\sqrt {\dfrac{x}{{2 - x}}} }
$
2cho x,y,z >0 tm x+y+z+2=xyz
cm $
2\sum {} x^2 + 1 \ge (x + y + z - 1)^2
$
Sông dài cuồn cuộn ra khơi ,
Anh hùng : sóng dập, cát vùi thiên thu...
Dở hay, thành bại nào đâu?
Bể dâu chớp mắt , nghoảnh đầu thành mơ !
Non xanh còn đó trơ trơ ,
Tà dương lần lửa sưởi hơ ánh hồng.
Lão tiều gặp lại ngư ông ,
Bên sông gió mát , trăng trong , kho trời.
Rượu vò lại rót khuyên mời ,
Cùng nhau lại kể chuyện thời xa xưa...
Kể ra biết mấy cho vừa?
Nói cười hỉ hả , say sưa quên đời...

#13 Micheal

Micheal

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Đã gửi 21-12-2009 - 08:46

Cho em hỏi chỗ $(x+1)^4+(y+1)^4\ge(x+1)^3+(y+1)^3$ là áp dụng hằng đẳng thức để khai triển ra hay là dùng phương pháp khác vậy ạ. Em thấy anh ghi vắng tắt quá nên em chưa hiểu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Micheal: 21-12-2009 - 08:48

Là thành viên mới, mong được sự giúp đỡ tận tình từ các anh chị
Thân!

#14 vuthanhtu_hd

vuthanhtu_hd

    Tiến sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1189 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:ngủ ^^

Đã gửi 21-12-2009 - 18:51

B.Đ.T cần chứng minh tương đương với $(1+x)^{3}+(1+y)^{3} \leq (1+x)^{4}+(1+y)^{4}$
$\Leftrightarrow x(1+x)^{3}+y(1+y)^{3} \geq0$
$\Leftrightarrow x^{4}+y^{4}+3(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+3(x^{2}+y^{2})+x+y \geq 0$ (B.Đ.T này
đúng vì $x+y \geq 0$)
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=0 \Leftrightarrow a=b=1$.



Cho em hỏi chỗ $(x+1)^4+(y+1)^4\ge(x+1)^3+(y+1)^3$ là áp dụng hằng đẳng thức để khai triển ra hay là dùng phương pháp khác vậy ạ. Em thấy anh ghi vắng tắt quá nên em chưa hiểu

$(1+x)^{3}+(1+y)^{3} \leq (1+x)^{4}+(1+y)^{4}$
$\leftrightarrow (1+x)^{3}[(x+1)-1]+(1+y)^{3}[(y+1)-1] \geq0$
$\Leftrightarrow x(1+x)^{3}+y(1+y)^{3} \geq0$
$\Leftrightarrow (x^4+y^4)+3(x^3+y^3)+3(x^2+y^2)+x+y \ge 0$ (khai triển :D )

$\Leftrightarrow x^{4}+y^{4}+3(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+3(x^{2}+y^{2})+x+y \geq 0$ (B.Đ.T này
đúng vì $x+y \geq 0$)
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=0 \Leftrightarrow a=b=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 21-12-2009 - 18:52

Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.

______________________
__________________________________
Vu Thanh TuUniversity of Engineering & Technology


#15 truongvoki_bn9x

truongvoki_bn9x

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết

Đã gửi 10-04-2010 - 21:53

BT áp dụng.Bài 1. Cho $a,b\in R,ab \geq 1$.CM $a^{2}+b^{2} \geq a+b$
Bài 2.Cho $x,y\in R, x+y=3,x \leq 1$.CM
a)$x^{3}+y^{3} \geq 9$
b)$2x^{4}+y^{4} \geq 18$
Bài 3.Cho $x,y>0$ thỏa mãn $x+y=1$
Tìm GTNN của $P= \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{3}{4xy}$
Bài 4 Cho $a,b \in R,a+b>8 ,b>3$
CMR $27a^{2}+10b^{3}>945$



Bài 2:
a)Đặt $\ x= 1-t ( t\geq 0) \Rightarrow\ y=t+2 $
ta có:VT= $ \(1-t)^{3} + (t+2)^{3} = 9+3 t^{2} +15t \geq\9 $
Dấu đẳng thức xảy ra khi t=0 hay x=1 , y=2
b)
Đặt tương tự như trên rồi khai triển ta có đpcm
Bôi đen để thấy:

Hãy tìm cho mình một lối đi chứ không phải một lối thoát

#16 Messi_ndt

Messi_ndt

    Admin batdangthuc.com

  • Thành viên
  • 679 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:FC Barcelona
  • Sở thích:Mathematical, Football and a girl.

Đã gửi 17-04-2010 - 11:39

Bài toán B.Đ.T thường là nội dung khó với các bạn học sinh trung học cơ sở .Một lí do
đơn giản vì đây là dạng toán ''mới mẻ'' với các bạn và khi giải các bài toán B.Đ.T các
bạn thường cảm thấy ''lúng túng'' không biết phải sử dụng phương pháp gì?Tuy nhiên,
trong nhiều bài toán B.Đ.t có điều kiện chúng ta có thể dựa vào điều kiện của biến để
đặt ẩn phụ đưa bài toán về dạng đơn giản có thể đánh giá được trực tiếp mà không cần
sử dụng đến các công cụ ''đao to búa lớn''. Bài viết dưới đây dựa trên ý tưởng của
My Teacher-thầy Hoàng văn Đắc
Chúng ta bắt đầu với một bài toán đơn giản sau

Ví dụ 1 .CMR Với $a,b \in R$ và $a+b=4$ thì $a^{4}+b^{4} \geq 32$
Nhận xét rằng một biểu thức nhiều biến thường đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất khi tất
cả các biến bằng nhau ( tổng quát hơn là trường hợp một số biến bằng nhau) hoặc một
số biến có giá trị trên biên .Điều này gợi ý cho ta cách đổi biến như sau
Lời giải Do $a+b=4$ nên có thể đặt $a=2+x,b=2-x$ với $x\in R$
Ta có $a^{4}+b^{4}=(2+x)^{4}+(2-x)^{4}=2x^{4}+48x^{2}+32 \geq 32$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=0 \Leftrightarrow a=b=2$.Như vậy bằng cách đổi biến thích hợp chúng ta đã
đưa bài toán về dạng đơn giản có thể đánh giá trực tiếp được và B.Đ.T chúng ta sử dụng chỉ là
B.Đ.T cơ bản nhất $x^{2} \geq 0, \forall x\in R$
:D :D
Chúng ta sẽ gặp lại nhau sau ít phút quảng cáo :D ....

Trở lại với bài viết .Tiếp theo chúng ta xem xét một vài ví dụ khác.Qua đó hi vọng
các bạn học sinh THCS sẽ có được một cách nhìn mới với những bài toán B.Đ.T kiểu này.

Ví dụ 2.Cho $a,b \in R$ thỏa mãn $a+b \geq 2$.CMR
$a^{3}+b^{3} \leq a^{4}+b^{4}$
Lời giải. Đặt $a=1+x,b=1+y$.Từ $a+b \geq 2$ ta có $x+y \geq 0$
B.Đ.T cần chứng minh tương đương với $(1+x)^{3}+(1+y)^{3} \leq (1+x)^{4}+(1+y)^{4}$
$\Leftrightarrow x(1+x)^{3}+y(1+y)^{3} \geq0$
$\Leftrightarrow x^{4}+y^{4}+3(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+3(x^{2}+y^{2})+x+y \geq 0$ (B.Đ.T này
đúng vì $x+y \geq 0$)
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=0 \Leftrightarrow a=b=1$.

Ví dụ 3.Cho $a,b,c\in R$ thỏa mãn $a+b+c=3$.
CMR $a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca \geq 6$
Lời giải.Vì $a+b+c=3$ nên có thể đặt $a=1+x ,b=1+y, c=1-x-y$ với $x,y \in R$
Ta có
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca=(1+x)^{2}+(1+y)^{2}+(1-x-y)^{2}+$
$+(1-x)(1-y)+(1-y)(1-x-y)+(1-x-y)(1-x)$
$=x^{2}+xy+y^{2}+6=(x+\dfrac{y}{2})^{2}+\dfrac{3y^{2}}{4}+6\geq 6$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow y=0,x+\dfrac{y}{2}=0 \Leftrightarrow a=b=c=1$

:D :rolleyes:
Ví dụ 4.Cho $a,b,c,d\in R$ thỏa mãn $a+b+c+d=1$.CMR
$(a+c)(b+d)+2ac+2bd \leq \dfrac{1}{2}$
Lời giải.Vì $a+b+c+d=1$ nên có thể đặt $a=\dfrac{1}{4}+x+z , b= \dfrac{1}{4}-x+z ,c=\dfrac{1}{4}+y-z ,d= \dfrac{1}{4}-y-z $
Ta có $(a+c)(b+d)+2ac+2bd$
$=(\dfrac{1}{2}+x+y)(\dfrac{1}{2}-x-y)+2(\dfrac{1}{4}+x+z)(\dfrac{1}{4}+y-z)+2(\dfrac{1}{4}-x+z)(\dfrac{1}{4}-y-z)$

$= \dfrac{1}{2}-(x-y)^{2}-4z^{2} \leq \dfrac{1}{2}$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x-y=0,z=0 \Leftrightarrow a=c ,b=d$

Ví dụ 5.Cho $a,b,c,d\in R$ thỏa mãn $a+b=c+d$
CMR $c^{2}+d^{2}+cd \geq 3ab$

Lời giải.Do $a+b=c+d$ nên ta đặt $c=a+x , d=b-x$ với $x\in R$
Ta có $c^{2}+d^{2}+cd =(a+x)^{2}+(b-x)^{2}+(a+x)(b-x)=(a-b+\dfrac{x}{2})^{2}+\dfrac{3x^{2}}{4}+3ab\geq 3ab$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a-b+\dfrac{x}{2}=x=0 \Leftrightarrow a=b=c=d$
:lol: :rolleyes:
Ví dụ 6.Cho $x,y\in R,x<2$ và $x+y>5$.CMR
$5x^{2}+2y^{2}+8y>62$
Lời giải.Vì $x<2,x+y>5$ nên ta đặt $x=2- t , x+y=5+u$ ($t,u >0$)
$5x^{2}+2y^{2}+8y=5(2-t)^{2}+2(3+t+u)^{2}+8(3+t+u)=62+2(t+u)^{2}+5t^{2}+20u>62$
Ta có đpcm

Ví dụ 7Cho$ x,y\in R ,x \leq 1 ,x+y \geq 3$. Tìm GTNN của $F= 3x^{2}+y^{2}+3xy$
Lời giải.Đặt $x=1-a, x+y =3+b$ thì $y=2+a+b;a,b \geq 0 $
Ta có $3x^{2}+y^{2}+3xy=3(1-a)^{2}+(2+a+b)^{2}+3(1-a)(2+a+b)$
$=a^{2}+b^{2}-5a+7b-ab+13$
$=(a-\dfrac{b}{2}-\dfrac{5}{2})^{2}+\dfrac{3b^{2}}{4}+\dfrac{9b}{2}+\dfrac{27}{4} \geq \dfrac{27}{4}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=\dfrac{5}{2},b=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-3}{2},y=\dfrac{9}{2}$
:rolleyes: :D
Ví dụ 8 Cho $x,y \in R,x+y=3 ,x \leq 1$.CMR
$y^{3}-x^{3}-6y^{2}-x^{2}+9y \geq 0$

Lời giải.Đặt $x=1-w$ thì $y=2+w$($w \geq 0$)
$y^{3}-x^{3}-6y^{2}-x^{2}+9y\geq0 \Leftrightarrow (2+w)^{3}-(1-w)^{3}-6(2+w)^{2}-(1-w)^{2}+9(2+w) \geq0 $
$\Leftrightarrow w(w-1)^{2} \geq 0$ (đúng)
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow w \in$ {${0;1}$} $\Leftrightarrow (x;y)\in$ {$(1;2),(0;3)$}

Lời kết.Như vậy với việc đổi biển khéo léo ta có thể đưa việc xét một biểu thức phức tạp
về một biểu thức đơn giản hơn,phù hợp với trình độ THCS.Những VD trên là đơn giản (không
có VD nào có thể coi là khó!)và những lời giải trên là để minh họa cho kĩ thuật nên có thể chưa
phải là lời giải hay nhất,ngắn gọn nhất.Tác giả cho rằng việc đưa ra quá nhiều VD sẽ chỉ nhàm
chán và vô vị ,vì vậy chỉ đưa ra vài VD đơn giản để bạn đọc có thể nắm bắt được ý tưởng nhanh
chóng.Khi đã nắm bắt được ý tưởng ,bạn hoàn toàn có thể ''đánh bay'' một lớp các bài toán như
vậyvà đương nhiên bạn cũng có thể tự tạo ra các bài toán kiểu này.Dưới đây cũng là những BT
đơn giản để các bạn thử nghiệm!

Em thấy phương pháp đổi ẩn của bất đẳng thức này thực chất là dựa vào tính chẩt đại số khi chuyển ẩn thì khai triển triệt tiêu bớt ẩn và còn lại 1 đa thức có đặc điểm mạnh hơn đa thúc ban đầu và dễ chứng minh hơn.

#17 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-10-2010 - 21:49

Thử đặt một ra một bài toán BĐT theo "kiểu" sau:

Cho a, b, c là các số dương xét biểu thức sau
$P = (\dfrac{1}{ab} - 2)(\dfrac{1}{bc} - 2)(\dfrac{1}{ca} - 2)$

Nếu $a = b = c = \dfrac{1}{3}$
thì $P = (\dfrac{1}{a^{2} }-2)^{3}=7^{3}=343$
Nếu $a = b = \dfrac{1}{4}$ còn $c = \dfrac{1}{2}$
thì $P = (\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{4}}-2)(\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{2}}-2)(\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{2}}-2) = 504$

"Kết luận" ta có bài BĐT sau:

Cho a, b, c là 3 số dương có tổng a + b + c = 1
CMR $(\dfrac{1}{ab}-2)(\dfrac{1}{bc}-2)(\dfrac{1}{ca}-2)$ :geq $7^{3}$


Ai chứng minh được BĐT này giơ tay!
:icon6:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 15-12-2010 - 15:37

Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#18 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 859 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, Việt Nam
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 11-10-2011 - 23:25

BT áp dụng.Bài 1. Cho $a,b\in R,ab \geq 1$.CM $a^{2}+b^{2} \geq a+b$


$a,b\in R,ab \geq 1$.CM $a^{2}+b^{2} \geq a+b$

Theo cauchy:

\[
a^2 + b^2 \ge 2ab
\]


để bất đẳng thức xảy ra


\[
\begin{array}{l}
< = > 2ab \ge a + b \\
< = > a + b \ge 2 \\
\end{array}
\]

mà \[
ab \ge 1
\]
=>\[
a^2 - 2a + 1 \ge 0 (đúng)
\]
vậy BĐT đã dc chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 11-10-2011 - 23:26

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

logocopy.jpg?t=1339838138


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#19 hai_ddt_311

hai_ddt_311

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Đã gửi 31-10-2011 - 17:27

Theo nguyện vọng ^_^
File gửi kèm  bdt_vuthanhtu.pdf   158.32K   848 Số lần tải

Anh ơi file bị hỏng rồi,sửa lại cho em download với.

#20 HÀ QUỐC ĐẠT

HÀ QUỐC ĐẠT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C THPT NINH GIANG-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Đã gửi 31-10-2011 - 18:13


$a,b\in R,ab \geq 1$.CM $a^{2}+b^{2} \geq a+b$

Theo cauchy:


\[
a^2 + b^2 \ge 2ab
\]


để bất đẳng thức xảy ra


\[
\begin{array}{l}
< = > 2ab \ge a + b \\
< = > a + b \ge 2 \\
\end{array}
\]

mà \[
ab \ge 1
\]
=>\[
a^2 - 2a + 1 \ge 0 (đúng)
\]
vậy BĐT đã dc chứng minh

mình cảm thấy lời giải này không được tự nhiên cho lắm :unsure:




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh