Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Một kĩ thuật chứng minh B.Đ.T


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 105 trả lời

#41 LukaTTK

LukaTTK

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết

Đã gửi 15-04-2013 - 21:03

Bài 3:

P = $\frac{1}{x^{2}+y^{2}} + \frac{3}{4xy} = \frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{4xy}$

Áp dụng BĐT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$ Ta có:

P $\geq \frac{4}{(x+y)^{2}}+ \frac{1}{4xy}$

Lại có $x^{2} + y^{2} \geq 2xy\Rightarrow 4xy\leq (x+y)^{2} \Rightarrow \frac{1}{4xy}\geq \frac{1}{(x+y)^{2}}$

Do  đó $P\geq \frac{5}{(x+y)^{2}} = 5$

Đẳng thức xảy ra khi x=y=0.5



#42 LukaTTK

LukaTTK

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết

Đã gửi 15-04-2013 - 21:16

Bài 1:

Ta có : $x^{2}+y^{2}\geq x+y \Leftrightarrow 2x^{2} + 2y^{2}\geq 2x+2y$

$\Leftrightarrow 2x^{2}+2y^{2}-2x-2y+2\geq 2$

$\Leftrightarrow (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+x^{2}+y^{2}\geq 2       (1)$

Do $(x-1)^{2}\geq 0,(y-1)^{2}\geq 0,X^{2}+y^{2}\geq 2xy\geq 2$ nên BĐT (1) đúng .

Vậy $x^{2} +y^{2}\geq x+y$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 02-06-2013 - 19:02


#43 nguyentrungphuc26041999

nguyentrungphuc26041999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 406 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT Phan Bội Châu
  • Sở thích:bóng đá, làm toán, chơi game,đủ trò

Đã gửi 14-05-2013 - 21:55

Ủng hộ 1 bài sử dung PP trên:
a + b + c = 3
CMR:
$a^2 + b^2 + c^2 \geq 2abc +1$

a+b+c>3

=>1>abc

a^2+b^2+c^2>(a+b+c)^2/3=3>2abc+1



#44 Vo Sy Nguyen

Vo Sy Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Nguyễn Du

Đã gửi 23-05-2013 - 18:29

Thử đặt một ra một bài toán BĐT theo "kiểu" sau:

Cho a, b, c là các số dương xét biểu thức sau
$P = (\dfrac{1}{ab} - 2)(\dfrac{1}{bc} - 2)(\dfrac{1}{ca} - 2)$

Nếu $a = b = c = \dfrac{1}{3}$
thì $P = (\dfrac{1}{a^{2} }-2)^{3}=7^{3}=343$
Nếu $a = b = \dfrac{1}{4}$ còn $c = \dfrac{1}{2}$
thì $P = (\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{4}}-2)(\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{2}}-2)(\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{2}}-2) = 504$

"Kết luận" ta có bài BĐT sau:

Cho a, b, c là 3 số dương có tổng a + b + c = 1
CMR $(\dfrac{1}{ab}-2)(\dfrac{1}{bc}-2)(\dfrac{1}{ca}-2)$ geq.gif $7^{3}$


Ai chứng minh được BĐT này giơ tay!
:icon6:



#45 anhdat98vip

anhdat98vip

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 29-05-2013 - 21:18

 cho x,y,z ,n nguyên dương. chứng minh x^n +y^n khác z^n với n>2

giải hộ em với :lol:



#46 vietquang1998

vietquang1998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tân Hội - Đan Phượng - Hà Nội

Đã gửi 30-05-2013 - 21:32

Bài 3.Cho $x,y>0$ thỏa mãn $x+y=1$
Tìm GTNN của $P= \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{3}{4xy}$

P = $\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{3}{4xy}=(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy})+\frac{1}{4xy}$

 

* Áp dụng bđt $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$

 

$\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{x^{2}+y^{2}+2xy}=\frac{4}{(x+y)^{2}}=4$ (1)

 

* $2\sqrt{xy}\leq x+y=1$

=> $4xy\leq 1$

=> $\frac{1}{4xy}\geq 1$ (2)

 

Cộng (1) và (2), ta có:

P$\geq 5$

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=$\frac{1}{2}$


vietquang1998

 

Tự Hào Là Thành Viên VMF - Vietnam Mathematics Forum

 

Link Facebook của mình tại đây!!


#47 minhhieuchu

minhhieuchu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi-Amsterdam
  • Sở thích:Math, Basketball, Chatting

Đã gửi 02-06-2013 - 12:24

Cho $a,b,c,d\geq 0$ $a+b+c+d=1$. Tìm max$P=\left | a-b \right |+\left | a-c \right |+\left | a-d \right |+\left | b-c \right |+\left | b-d \right |+\left | c-d \right |$

Bài này hình như ra max = 3 thì phải.


:icon12:  Số 11 Ams 2 basketball team   :icon12: 

(~~)  HỌC...   (~~)

(~~)  HỌC nữa...   (~~)

(~~)  HỌC mãi...   (~~)

:icon6:  98er   :icon6:

:namtay  PHẢI THI ĐỖ!!  :)))))))   :namtay
:wub:  :wub:
  :wub:  :wub:  :wub:  :wub:  :wub: 


#48 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 02-06-2013 - 14:49

Bài này hình như ra max = 3 thì phải.

Cách làm :

Giả sử $a\geq b\geq c\geq d\geq 0$

$\Rightarrow P=a-b+a-c+a-d+b-c+b-d+c-d=3a+b-c-3d= 3\left (a+b+c+d \right )-2b-4c-6d\leq 3$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#49 minhhieuchu

minhhieuchu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi-Amsterdam
  • Sở thích:Math, Basketball, Chatting

Đã gửi 02-06-2013 - 21:34

Cách làm :

Giả sử $a\geq b\geq c\geq d\geq 0$

$\Rightarrow P=a-b+a-c+a-d+b-c+b-d+c-d=3a+b-c-3d= 3\left (a+b+c+d \right )-2b-4c-6d\leq 3$

Cách làm này ổn đấy nhưng mà cần phải chỉ ra "="
Ở bài bạn "=" a=1;b=c=d=0
Ngoài ra "=" a=b=c=0;d=1                                  a=c=d=0;b=1                                                      a=b=d;c=1


:icon12:  Số 11 Ams 2 basketball team   :icon12: 

(~~)  HỌC...   (~~)

(~~)  HỌC nữa...   (~~)

(~~)  HỌC mãi...   (~~)

:icon6:  98er   :icon6:

:namtay  PHẢI THI ĐỖ!!  :)))))))   :namtay
:wub:  :wub:
  :wub:  :wub:  :wub:  :wub:  :wub: 


#50 Ngocquynh98

Ngocquynh98

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 24-06-2013 - 23:02

BT áp dụng.
Bài 1. Cho $a,b\in R,ab \geq 1$.CM $a^{2}+b^{2} \geq a+b$
 

Ta cần CM:

$\left ( a+b \right )^2 \leq 2\left ( a^2+b^2 \right )\leq \left ( a^2+b^2 \right )^2$

 

BĐT: $\left ( a+b \right )^2 \leq 2\left ( a^2+b^2 \right )$ thì dễ r

 

CM $2\left ( a^2+b^2 \right )\leq \left ( a^2+b^2 \right )^2$

$\Leftrightarrow$ $a^4+2a^2b^2+b^4 - 2a^2 -2b^2 \geq 0$

$\Leftrightarrow (a^4-2a^2b^2+b^4)+4a^2b^2-2a^2-2b^2\geq 0$

$\Leftrightarrow (a^2-b^2)^2-2(a^2+b^2)+4a^2b^2\geq (a^2-b^2)^2-2(a^2+b^2)+4ab\geq 0$ ( dễ chứng minh $4a^2b^2\geq 4ab$)

$\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)^2-2(a^2-2ab+b^2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2[(a+b)^2-2]\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+b^2+2ab-2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a^2+b^2+2ab-2)\geq 0$

$\Leftrightarrow 2ab-2\geq 0$

$\Leftrightarrow ab-1\geq 0$ ( luôn đúng theo GT)

Dấu"=" xảy ra khi a=b=1



#51 viendanho98

viendanho98

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1 TD1 Bắc Ninh

Đã gửi 06-07-2013 - 19:05



$(1+x)^{3}+(1+y)^{3} \leq (1+x)^{4}+(1+y)^{4}$
$\leftrightarrow (1+x)^{3}[(x+1)-1]+(1+y)^{3}[(y+1)-1] \geq0$
$\Leftrightarrow x(1+x)^{3}+y(1+y)^{3} \geq0$
$\Leftrightarrow (x^4+y^4)+3(x^3+y^3)+3(x^2+y^2)+x+y \ge 0$ (khai triển image001.gif )

$\Leftrightarrow x^{4}+y^{4}+3(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+3(x^{2}+y^{2})+x+y \geq 0$ (B.Đ.T này
đúng vì $x+y \geq 0$)
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=0 \Leftrightarrow a=b=1$.

vd 2 lam cach khac duoc.

ta cm bdt $a^4+b^4 \geq a^3b+ab^3$

cm (1)$\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+ab+b^2)\geq 0$

 

$\Rightarrow 2(a^4+b^4)\geq a^3b+ab^3 +a^4+b^4$

$\Leftrightarrow 2(a^4+b^4)> (a+b)(a^3+b^3)$ vi a+b$\geq 2$

$\Rightarrow a^4+b^4\geq a^3+b^3$(dpcm)$


                                       TÌNH BẠN

                                                        LÀ

                                                               MÃI MÃI


#52 Master Key 99

Master Key 99

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Cố lên nào!!!
  • Sở thích:toán học là cuộc sống của tôi

Đã gửi 31-07-2013 - 14:45

cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1 CMR tổng(cyc) a/(a^2+1) <= 9/10

:ukliam2: Cuộc sống không phải là một cuộc chạy đua, nó là một cuộc hành trình mà bạn có thể tận hưởng từng bước khám phá. blank.gif :ukliam2:

          

                                                     :icon12: :icon12: I LOVE MATH :icon12: :icon12:


#53 forever friend

forever friend

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nghệ an

Đã gửi 04-09-2013 - 16:07

ta có: $\frac{3}{a+b}=\frac{1}{\frac{a}{3}+2\frac{b}{6}}\leq \frac{1}{\frac{\frac{3}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{b}}{9}}=\frac{1}{a}+\frac{4}{3b}$(BĐT côsi

ah làm lại cho em hiểu hơn đk không :namtay



#54 Le Thi Van Anh

Le Thi Van Anh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 31-10-2013 - 21:35

$a,b\in R,ab \geq 1$.CM $a^{2}+b^{2} \geq a+b$

Theo cauchy:

\[
a^2 + b^2 \ge 2ab
\]


để bất đẳng thức xảy ra


\[
\begin{array}{l}
< = > 2ab \ge a + b \\
< = > a + b \ge 2 \\
\end{array}
\]

mà \[
ab \ge 1
\]
=>\[
a^2 - 2a + 1 \ge 0 (đúng)
\]
vậy BĐT đã dc chứng minh

 

tại sao 2ab$\geqslant$a+b$\Leftrightarrow$a+b$\geq$2



#55 Van Chung

Van Chung

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Hương Lâm
  • Sở thích:nghe nhạc, học tiếng anh

Đã gửi 05-11-2013 - 16:35

Lời kết. Như vậy với việc đổi biển khéo léo ta có thể đưa việc xét một biểu thức phức tạp về một biểu thức đơn giản hơn,phù hợp với trình độ THCS. Những VD trên là đơn giản (không có VD nào có thể coi là khó!)và những lời giải trên là để minh họa cho kĩ thuật nên có thể chưa phải là Lời giải hay nhất,ngắn gọn nhất. Tác giả cho rằng việc đưa ra quá nhiều VD sẽ chỉ nhàm chán và vô vị ,vì vậy chỉ đưa ra vài VD đơn giản để bạn đọc có thể nắm bắt được ý tưởng nhanh chóng. Khi đã nắm bắt được ý tưởng ,bạn hoàn toàn có thể ''đánh bay'' một lớp các bài toán như vậy và đương nhiên bạn cũng có thể tự tạo ra các bài toán kiểu này. Dưới đây cũng là những BT đơn giản để các bạn thử nghiệm!

Bạn có thể chỉ cho mình vài kĩ thuật để dặt các ẩn được ko? Mà đây là phương pháp chọn điểm rơi phải không bạn thầy mình nói phương pháp này lớp 8 chưa đc học nhưng mình thấy phương pháp này đơn giản và rất hay. Mong học đc chút ít từ bạn.

Tks nhìu


                    What doesn't kill you makes you stronger


#56 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 05-11-2013 - 17:06

cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1 CMR tổng(cyc) a/(a^2+1) <= 9/10

Ta có :$\sum \frac{a}{a^2+1}=\sum \frac{a}{a^2+9.\frac{1}{9}}\leq \sum \frac{a}{10\sqrt[10]{\frac{a^2}{9^9}}}=\frac{1}{10}.\sum \sqrt[10]{9^9.a^8}=\frac{\sqrt[10]{9^9}}{10}.\sum \sqrt[10]{a^8}=\sum \sqrt[10]{a.a.a.a.a.a.a.a.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}}$ 

Đến đây lại cosi tiếp



#57 Van Chung

Van Chung

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Hương Lâm
  • Sở thích:nghe nhạc, học tiếng anh

Đã gửi 11-12-2013 - 21:38

Hôm trước thầy mình có cho một bài CM BĐT mình dùng phương pháp này ko biết có đúng ko mong ng' chỉ cho:

Cho ba số x,y,z thỏa mãn x+y+z=3. tìm giá trị lớn nhất của B=xy+yz+zx.

Cách làm của mình:

Đặt x=1+a-b;y=1-b+c;z=1-a+c

B=xy+yz+zx=(1+a-b)(1-b+c)+(1-b+c)(1-a+c)+(1-a+c)(1+a-b)

  =$1+a-b+b+ab-b^2-c-ac+bc+1+b-c-a-ab+ac+c+bc-c^2+1-a+c+bc+ac-a^2-b+ab-bc$

  $3-\frac{1}{2}[(b-c)^2+(a-b)^2+(c-a)^2]\leq 3$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}.


                    What doesn't kill you makes you stronger


#58 thuc4022

thuc4022

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Đã gửi 27-03-2014 - 16:59

rất hay. thank thầy.

ps: (Tây hà tower, Chung cư Tây Hà)



#59 NMCT

NMCT

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THCS Cát Hiệp

Đã gửi 06-04-2014 - 08:00

Bài của Vd_tan thì đồng bậc 1 cái,cauchy 3 số là được

rõ hơn tí đi 


Ai muốn thì vô  :ukliam2:

 Ai vô thì đánh  :ukliam2:

Ai đánh mặc kệ 

Mặc kệ người đánh

Người đánh măc ai 

Mặc ai bị đánh 

Bị đánh cũng tội 

có tội cũng đánh 

:namtay  :ukliam2:
  :luoi:

 


 

  


#60 NMCT

NMCT

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THCS Cát Hiệp

Đã gửi 06-04-2014 - 08:09

a+b+c>3

=>1>abc

a^2+b^2+c^2>(a+b+c)^2/3=3>2abc+1

z nhờ anh giải giúp bài này ";

cho 3 số x, y,z thỏa mãn : $-1\leq x,y,z\geq 3 và x+y+z=3$

chứng minh rằng : $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 11$

cảm ơn anh nhiều


Ai muốn thì vô  :ukliam2:

 Ai vô thì đánh  :ukliam2:

Ai đánh mặc kệ 

Mặc kệ người đánh

Người đánh măc ai 

Mặc ai bị đánh 

Bị đánh cũng tội 

có tội cũng đánh 

:namtay  :ukliam2:
  :luoi:

 


 

  





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh