Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Một kĩ thuật chứng minh B.Đ.T


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 105 trả lời

#61 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 06-04-2014 - 15:42

z nhờ anh giải giúp bài này ";

cho 3 số x, y,z thỏa mãn : $-1\leq x,y,z\geq 3$ và x+y+z=3$

chứng minh rằng : $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 11$

cảm ơn anh nhiều

 

Phải là $-1\leq x,y,z\leq 3$ 

 

Đặt x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1.

 

Có $-1\leq x,y,z\leq 3$ và $x+y+z=3$ nên $-2 \leq a;b;c \leq 2$ và $a+b+c=0$

 

Trong ba số a; b; c có hai số cùng dấu. G/s hai số đó là a và b thì $ab \geq 0$ nên $c^2 \leq 2^2=4$

 

Khi đó $\sum x^2=\sum (a+1)^2=\sum a^2+2.\sum a+3 \\ \leq (a+b)^2+c^2+3=(-c)^2+c^2+3=2c^2+3 \\ \leq 2.4+3=11$

 

Dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1. & & \\ a+b+c=0 & & \\ ab = 0 & & \\ c^2=4 & & \end{matrix}\right.$ 

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=0 & & \\ c=-2 & & \\ b=2 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y=-1 & & \\ z=3 & & \end{matrix}\right.$ (và các hoán vị của chúng)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 06-04-2014 - 22:09


#62 NMCT

NMCT

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THCS Cát Hiệp

Đã gửi 06-04-2014 - 16:12

Phải là $-1\leq x,y,z\leq 3$ 

 

Đặt x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1.

 

Có $-1\leq x,y,z\leq 3$ và $x+y+z=3$ nên $-2 \leq a;b;c \leq 2$ và $a+b+c=0$

 

Trong ba số a; b; c có hai số cùng dấu. G/s hai số đó là a và b thì $ab \geq 0$ nên $c^2 \leq 2^2=4$

 

Khi đó $\sum x^2=\sum (a+1)^2=\sum a^2+2.\sum a+3 \\ \leq (a+b)^2+c^2+3=(-c)^2+c^2+3=2c^2+3 \\ \leq 2.4+3=11$

 

Dấu = xảy ra khi a = b = 0 và c = 2 nên x = y = 1 và z = 3 (và các hoán vị của chúng)

có cách thcs hk 


Ai muốn thì vô  :ukliam2:

 Ai vô thì đánh  :ukliam2:

Ai đánh mặc kệ 

Mặc kệ người đánh

Người đánh măc ai 

Mặc ai bị đánh 

Bị đánh cũng tội 

có tội cũng đánh 

:namtay  :ukliam2:
  :luoi:

 


 

  


#63 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 06-04-2014 - 17:47

có cách thcs hk 

 

Bạn đọc không hiểu à? Đây chỉ là kiến thức biến đổi nhẹ thôi, chưa đụng cao đâu, lớp 8 làm bình thường mà,



#64 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 06-04-2014 - 18:04

Phải là $-1\leq x,y,z\leq 3$ 

 

Đặt x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1.

 

Có $-1\leq x,y,z\leq 3$ và $x+y+z=3$ nên $-2 \leq a;b;c \leq 2$ và $a+b+c=0$

 

Trong ba số a; b; c có hai số cùng dấu. G/s hai số đó là a và b thì $ab \geq 0$ nên $c^2 \leq 2^2=4$

 

Khi đó $\sum x^2=\sum (a+1)^2=\sum a^2+2.\sum a+3 \\ \leq (a+b)^2+c^2+3=(-c)^2+c^2+3=2c^2+3 \\ \leq 2.4+3=11$

 

Dấu = xảy ra khi a = b = 0 và c = 2 nên x = y = 1 và z = 3 (và các hoán vị của chúng)

Dấu $=$ của bạn sai rồi, $x+y+z=3$ cơ mà



#65 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 06-04-2014 - 21:56

Dấu $=$ của bạn sai rồi, $x+y+z=3$ cơ mà

 

Nhầm, đã fix :D



#66 nxhoang99

nxhoang99

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 36 Bài viết

Đã gửi 25-05-2014 - 14:36

Cho mình hỏi bài này với 

Cho 2 số dương x và y cố tổng bằng 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$B= (1- \frac{1}{x^{2}}). (1- \frac{1}{y^{2}})$



#67 lehoangphuc1820

lehoangphuc1820

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Phan Chu Trinh, Buôn Ma Thuột, Đăk Lăk
  • Sở thích:Số Học

Đã gửi 25-05-2014 - 21:08

Cho mình hỏi bài này với 

Cho 2 số dương x và y cố tổng bằng 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$B= (1- \frac{1}{x^{2}}). (1- \frac{1}{y^{2}})$

$B= (1- \frac{1}{x^{2}}). (1- \frac{1}{y^{2}})=\frac{x^2-1}{x^2}.\frac{y^2-1}{y^2}=\frac{(x-1)(x+1)}{x^2}.\frac{(y-1)(y+1)}{y^2}=\frac{-y.(2x+y)}{x^2}.\frac{-x(2y+x)}{y^2}=\frac{(x+x+y)(y+y+x)}{xy}$

$B\geq \frac{3\sqrt[3]{x^2y}}{x}.\frac{3\sqrt[3]{y^2x}}{y}=9$


- Một người giỏi Vật Lí là 1 người luôn đi đúng hướng giải và tìm ra đáp án mà không có gì giải thích được tại sao làm theo hướng đó lại đúng. ĐÓ LÀ SỰ NHẠY BÉN CỦA VẬT LÍ
- Một người giỏi Toán là người luôn tìm ra nhiều hướng giải cho 1 bài tập và sau đó biết hướng nào sẽ bế tắc, hướng nào sẽ đơn giản nhất để lựa chọn cách giải phù hợp nhất. ĐÓ LÀ SỰ THÔNG MINH CỦA TOÁN HỌC
- Một người giỏi Hóa là người đọc đề sẽ biết được dữ kiện này dùng để làm gì. Từ dữ kiện này sẽ được kết hợp với các dữ kiện khác như thế nào để tìm ra đáp án chính xác. ĐÓ LÀ SỰ LOGIC CỦA HÓA HỌC
 

#68 nxhoang99

nxhoang99

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 36 Bài viết

Đã gửi 25-05-2014 - 22:05

$B= (1- \frac{1}{x^{2}}). (1- \frac{1}{y^{2}})=\frac{x^2-1}{x^2}.\frac{y^2-1}{y^2}=\frac{(x-1)(x+1)}{x^2}.\frac{(y-1)(y+1)}{y^2}=\frac{-y.(2x+y)}{x^2}.\frac{-x(2y+x)}{y^2}=\frac{(x+x+y)(y+y+x)}{xy}$

$B\geq \frac{3\sqrt[3]{x^2y}}{x}.\frac{3\sqrt[3]{y^2x}}{y}=9$

cảm ơn ạ :)))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nxhoang99: 25-05-2014 - 22:50


#69 nxhoang99

nxhoang99

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 36 Bài viết

Đã gửi 26-05-2014 - 13:00

e  đóng góp 1 bài này đơn giản để mọi người làm cho vui :))))

Đề:Cho x,y là các số dương thỏa mãn x+y=2.Chứng minh: $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$



#70 Le Quang Long

Le Quang Long

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THCS Phan Chu Trinh, thành phố Buôn Ma Thuột, tỉnh Đắk Lắk

Đã gửi 27-05-2014 - 20:42

e  đóng góp 1 bài này đơn giản để mọi người làm cho vui :))))

Đề:Cho x,y là các số dương thỏa mãn x+y=2.Chứng minh: $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$

Theo BĐT Cauchy ta có:

$x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq x^{2}y^{2}(2xy)$

$\Leftrightarrow$ $2x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq x^{2}y^{2}(2xy+x^{2}+y^{2})$ (Nhân 2 vế với $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})$ dương)

$\Leftrightarrow$ $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2(xy)^{2}$ (1)

Vì $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ nên $2\geq 2\sqrt{xy}$

$\Leftrightarrow$ $1\geq \sqrt{xy}$

Vì $1\geq \sqrt{xy}$ nên $1\geq xy$ (xy > 0) (2)

Từ (1) và (2), ta có:

$x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Quang Long: 27-05-2014 - 20:56


#71 nxhoang99

nxhoang99

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 36 Bài viết

Đã gửi 28-05-2014 - 13:34

Theo BĐT Cauchy ta có:

$x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq x^{2}y^{2}(2xy)$

$\Leftrightarrow$ $2x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq x^{2}y^{2}(2xy+x^{2}+y^{2})$ (Nhân 2 vế với $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})$ dương)

$\Leftrightarrow$ $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2(xy)^{2}$ (1)

Vì $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ nên $2\geq 2\sqrt{xy}$

$\Leftrightarrow$ $1\geq \sqrt{xy}$

Vì $1\geq \sqrt{xy}$ nên $1\geq xy$ (xy > 0) (2)

Từ (1) và (2), ta có:

$x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$

chỗ bên trên có phần ko đúng :/

vì từ BĐT Cauchy ta có:

 

$x^{2}+y^{2} \geq  2xy$

$\Leftrightarrow x^{2}y^{2}(x^{2}y^{2})\geq x^{2}y^{2}(2xy)$

vậy phải là $\geq$ chứ ko phải $\leq$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nxhoang99: 28-05-2014 - 13:47


#72 Le Quang Long

Le Quang Long

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THCS Phan Chu Trinh, thành phố Buôn Ma Thuột, tỉnh Đắk Lắk

Đã gửi 28-05-2014 - 17:51

chỗ bên trên có phần ko đúng :/

vì từ BĐT Cauchy ta có:

 

$x^{2}+y^{2} \geq  2xy$

$\Leftrightarrow x^{2}y^{2}(x^{2}y^{2})\geq x^{2}y^{2}(2xy)$

vậy phải là $\geq$ chứ ko phải $\leq$

À, bài đó sửa như thế này:

Vì $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ nên $2\geq 2\sqrt{xy}$

$\Leftrightarrow$ $1\geq \sqrt{xy}$

Vì $1\geq \sqrt{xy}$ nên $1\geq xy$ (xy > 0) (1)

Ta có:

$(x+y)^2=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+2xy=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2=4-2xy$

$\Rightarrow$ $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}) = x^{2}y^{2}(4-2xy)$ (2)

Từ (1), ta lại có: $x^{2}y^{2}(4-2xy)\leq 1\times2$

Vậy $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Quang Long: 28-05-2014 - 17:56


#73 nxhoang99

nxhoang99

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 36 Bài viết

Đã gửi 28-05-2014 - 18:18

À, bài đó sửa như thế này:

Vì $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ nên $2\geq 2\sqrt{xy}$

$\Leftrightarrow$ $1\geq \sqrt{xy}$

Vì $1\geq \sqrt{xy}$ nên $1\geq xy$ (xy > 0) (1)

Ta có:

$(x+y)^2=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+2xy=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2=4-2xy$

$\Rightarrow$ $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}) = x^{2}y^{2}(4-2xy)$ (2)

Từ (1), ta lại có: $x^{2}y^{2}(4-2xy)\leq 1\times2$

Vậy $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$

hình như vẫn có chỗ sai hay sao í :/

sao lại suy ra đc chỗ bên trên ạ ???

hơn nữa nếu phân tích từ (1) ta sẽ được 
$1-xy\geq 0$

$\Leftrightarrow 4-2-2xy \geq 0 \Leftrightarrow 4-2xy \geq 2$

nên ko suy ra BĐT trên được



#74 Le Quang Long

Le Quang Long

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THCS Phan Chu Trinh, thành phố Buôn Ma Thuột, tỉnh Đắk Lắk

Đã gửi 28-05-2014 - 21:31

Vì $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ nên $2\geq 2\sqrt{xy}$

$\Leftrightarrow$ $1\geq \sqrt{xy}$

Vì $1\geq \sqrt{xy}$ nên $1\geq xy$ (xy > 0) (1)

Ta có:

$(x+y)^2=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+2xy=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2=4-2xy$

$\Rightarrow$ $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}) = x^{2}y^{2}(4-2xy)$ (2)

Và $1-xy\geq 0\Leftrightarrow 4-2-2xy\geq 0\Leftrightarrow 4-2xy\geq 2$ (3)

Ta xét:

$xy(4-2xy)\leq 2$

$\Leftrightarrow xy(2-xy)\leq 1$

$\Leftrightarrow 2xy-(xy)^2-1\leq 0$ $\Leftrightarrow -(xy-1)^2\leq 0$ (luôn đúng)

$\Rightarrow xy(4-2xy)\leq 2$

Từ (1)và (2), ta có: $xy\times xy(4-2xy)\leq 1\times 2$

$\Leftrightarrow x^2y^2(x^2+y^2)\leq 2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Quang Long: 28-05-2014 - 21:35


#75 tranxuangia1990

tranxuangia1990

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-09-2014 - 16:00

Ta có :$\sum \frac{a}{a^2+1}=\sum \frac{a}{a^2+9.\frac{1}{9}}\leq \sum \frac{a}{10\sqrt[10]{\frac{a^2}{9^9}}}=\frac{1}{10}.\sum \sqrt[10]{9^9.a^8}=\frac{\sqrt[10]{9^9}}{10}.\sum \sqrt[10]{a^8}=\sum \sqrt[10]{a.a.a.a.a.a.a.a.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}}$ 

Đến đây lại cosi tiếp

Cosi tiếp thế nào mà ra được 9/10 thế bạn nhỉ? Giải tiếp giúp mình với nha.



#76 Trinh Hong Ngoc

Trinh Hong Ngoc

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Đồng Hỷ, Thái Nguyên

Đã gửi 15-10-2014 - 16:12

bài này làm ntn ạ

cho a,b,c la 3 số dương thoả mãn a+b+c=1

cmr $\frac{1}{a.c}+\frac{1}{b.c}$ $\geq 16$

cam on


  :wub: THN :wub:

 


#77 Van Chung

Van Chung

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Hương Lâm
  • Sở thích:nghe nhạc, học tiếng anh

Đã gửi 01-02-2015 - 09:43

bài này làm ntn ạ

cho a,b,c la 3 số dương thoả mãn a+b+c=1

cmr $\frac{1}{a.c}+\frac{1}{b.c}$ $\geq 16$

cam on

Ta có bđt phụ: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$

$\frac{1}{a.c}+\frac{1}{b.c} \geq \frac{4}{ac+bc}=\frac{4}{c.(a+b)}=\frac{4}{c(1-c)}=\frac{4}{-c^2+c-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{4}{-(c-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}} \geq \frac{4}{\frac{1}{4}}=16$

$\Rightarrow đpcm$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Van Chung: 01-02-2015 - 09:45

                    What doesn't kill you makes you stronger


#78 tien123456789

tien123456789

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Cẩm Thủy 1, Thanh Hóa
  • Sở thích:toan hoc,cau long,co tuong

Đã gửi 08-04-2015 - 22:29

chung minh bat dang thuc sau

a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện sau

Hình gửi kèm

  • CodeCogsEqn (2).gif

Điều quan trọng là đừng bao giờ bỏ cuộc. Đừng lo sợ sự chậm trễ mà hãy lo sợ khi dừng lại. - Kim Nan Do


#79 tien123456789

tien123456789

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Cẩm Thủy 1, Thanh Hóa
  • Sở thích:toan hoc,cau long,co tuong

Đã gửi 14-04-2015 - 20:53

cmvới mọi số thực không âm thỏa mãn abc=1 thi$\sum \frac{a}{b^{4}+b}\geq \frac{3}{2}$


Điều quan trọng là đừng bao giờ bỏ cuộc. Đừng lo sợ sự chậm trễ mà hãy lo sợ khi dừng lại. - Kim Nan Do


#80 tien123456789

tien123456789

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Cẩm Thủy 1, Thanh Hóa
  • Sở thích:toan hoc,cau long,co tuong

Đã gửi 14-04-2015 - 21:45

Thử đặt một ra một bài toán BĐT theo "kiểu" sau:

Cho a, b, c là các số dương xét biểu thức sau
$P = (\dfrac{1}{ab} - 2)(\dfrac{1}{bc} - 2)(\dfrac{1}{ca} - 2)$

Nếu $a = b = c = \dfrac{1}{3}$
thì $P = (\dfrac{1}{a^{2} }-2)^{3}=7^{3}=343$
Nếu $a = b = \dfrac{1}{4}$ còn $c = \dfrac{1}{2}$
thì $P = (\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{4}}-2)(\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{2}}-2)(\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}\dfrac{1}{2}}-2) = 504$

"Kết luận" ta có bài BĐT sau:

Cho a, b, c là 3 số dương có tổng a + b + c = 1
CMR $(\dfrac{1}{ab}-2)(\dfrac{1}{bc}-2)(\dfrac{1}{ca}-2)$ geq.gif $7^{3}$


Ai chứng minh được BĐT này giơ tay!
:icon6:bai nay kho the


Điều quan trọng là đừng bao giờ bỏ cuộc. Đừng lo sợ sự chậm trễ mà hãy lo sợ khi dừng lại. - Kim Nan Do





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh