Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Một kĩ thuật chứng minh B.Đ.T


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 105 trả lời

#81 lehoangtrung

lehoangtrung

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 25-04-2015 - 09:42

Em có thể trình bày luôn lời giải của mình được ko?

ai giải hộ mình bằng pp đổi biến với ạ  ~O)



#82 the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Y Hà Nội
  • Sở thích:Nhiều

Đã gửi 26-04-2015 - 07:13

e  đóng góp 1 bài này đơn giản để mọi người làm cho vui :))))

Đề:Cho x,y là các số dương thỏa mãn x+y=2.Chứng minh: $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$

Theo mình thì làm thế này cho hay

$x^2y^2(x^2+y^2)=2xy(x^2+y^2).\frac{xy}{2}\leq \left ( \frac{2xy+x^2+y^2}{2} \right )^2.\frac{(x+y)^2}{8}=4.\frac{1}{2}=2$


"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker


#83 the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Y Hà Nội
  • Sở thích:Nhiều

Đã gửi 26-04-2015 - 07:16

bài này làm ntn ạ

cho a,b,c la 3 số dương thoả mãn a+b+c=1

cmr $\frac{1}{a.c}+\frac{1}{b.c}$ $\geq 16$

cam on

Có thể làm như này

$\frac{1}{a.c}+\frac{1}{b.c}=\frac{a+b}{abc}=\frac{(a+b+c)^2(a+b)}{abc}\geq \frac{4c(a+b).(a+b)}{abc}\geq \frac{4c.4ab}{abc}=16$


"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker


#84 tranductucr1

tranductucr1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT PHan Bội Châu
  • Sở thích:đọc những truyện truyền cảm hứng
    lịch sữ toán học

Đã gửi 29-04-2015 - 20:25

Có thể làm như này

$\frac{1}{a.c}+\frac{1}{b.c}=\frac{a+b}{abc}=\frac{(a+b+c)^2(a+b)}{abc}\geq \frac{4c(a+b).(a+b)}{abc}\geq \frac{4c.4ab}{abc}=16$

cách khác ạ 
$\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}=\frac{1}{c}\times \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq \frac{1}{c}\times \frac{4}{a+b}\geq \frac{16}{(a+b+c)^{2}}=........$


Để trở thành người phi thường, tôi không cho phép bản thân tầm thường

Roronoa Zoro- One piece

Liên lạc với tôi qua https://www.facebook...0010200906065  


#85 tienanh2001

tienanh2001

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♦♦♦Nghệ An♦♦♦

Đã gửi 27-06-2015 - 21:19

em có bài này thì phải làm ntn ạ?

CM bđt sau với a,b,c là các số thực dương:

$\frac{a+b}{a+c}+\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\leq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienanh2001: 27-06-2015 - 21:20

Bò là động vật nhai lại, các chú muốn giỏi thì phải nhai lại kiến thức giống như bò nhai cỏ. Vì thế nếu có ai nói các chú ngu như bò thì phải tự hiểu là “Ôi, mình là thiên tài”!


#86 ttztrieuztt

ttztrieuztt

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 128 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Rubik :))

Đã gửi 13-07-2015 - 08:32

bài này C/M sao ạ

cho a, b, c khác nhau c/m

$\frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}+\frac{(b+c)^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{(c+a)^{2}}{(c-a)^{2}}\geq 2$


                                                                                                       :like    CHUẨN THÌ LIKE SAI THÌ SỬA  :botay

                                                     

                                   :oto:    Sống là để cống hiến      :oto: 


#87 ttztrieuztt

ttztrieuztt

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 128 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Rubik :))

Đã gửi 13-07-2015 - 08:40

quên còn bài này nữa cho $a\geq b\geq 1$

c/m:  $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$


                                                                                                       :like    CHUẨN THÌ LIKE SAI THÌ SỬA  :botay

                                                     

                                   :oto:    Sống là để cống hiến      :oto: 


#88 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Invisible in Havard Chùa Láng :v
  • Sở thích:ngày xưa còn thích trinh thám giờ thì chỉ thích về quê nuôi cá trồng rau cho đỡ nhức đầu thôi ạ =))))

Đã gửi 13-07-2015 - 11:45

bài này C/M sao ạ

cho a, b, c khác nhau c/m

$\frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}+\frac{(b+c)^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{(c+a)^{2}}{(c-a)^{2}}\geq 2$  $(*)$

Đặt $x=\frac{a+b}{a-b},y=\frac{b+c}{b-c},z=\frac{c+a}{c-a}$

$\rightarrow BDT(*)\Leftrightarrow $$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 2$
Nhận thấy $(x-1)(y-1)(z-1)=(x+1)(y+1)(z+1)$

$\Leftrightarrow xy + yz +zx = -1$
Mà $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq -2(xy+yz+xz)$$=2$ (đpcm)



#89 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Invisible in Havard Chùa Láng :v
  • Sở thích:ngày xưa còn thích trinh thám giờ thì chỉ thích về quê nuôi cá trồng rau cho đỡ nhức đầu thôi ạ =))))

Đã gửi 13-07-2015 - 11:47

quên còn bài này nữa cho $a\geq b\geq 1$

c/m:  $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 

$\sqrt{b-1}\leq \frac{b-1+1}{2}=\frac{b}{2}\rightarrow a\sqrt{b-1}\leq \frac{ab}{2}\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq \frac{ab+ab}{2}=ab(đpcm)$



#90 ttztrieuztt

ttztrieuztt

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 128 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Rubik :))

Đã gửi 14-07-2015 - 07:47

cảm ơn thế còn bài này làm sao hở bác júp nốt nha

cho $x, y \neq 0$

cmr   $x^{4}+y^{4}\leq \frac{x^{6}}{y^{2}}+\frac{y^{6}}{x^{2}}$


                                                                                                       :like    CHUẨN THÌ LIKE SAI THÌ SỬA  :botay

                                                     

                                   :oto:    Sống là để cống hiến      :oto: 


#91 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Invisible in Havard Chùa Láng :v
  • Sở thích:ngày xưa còn thích trinh thám giờ thì chỉ thích về quê nuôi cá trồng rau cho đỡ nhức đầu thôi ạ =))))

Đã gửi 14-07-2015 - 11:30

cảm ơn thế còn bài này làm sao hở bác júp nốt nha

cho $x, y \neq 0$

cmr   $x^{4}+y^{4}\leq \frac{x^{6}}{y^{2}}+\frac{y^{6}}{x^{2}}$

Ta có $x^{8}+y^{8}\geq \frac{(x^{4}+y^{4})^{2}}{2}\geq (x^{4}+y^{4}).x^{2}y^{2}\Leftrightarrow \frac{x^{8}+y^{8}}{x^{2}y^{2}}\geq x^{4}+y^{4}\Leftrightarrow \frac{x^{6}}{y^{2}}+\frac{y^{6}}{x^{2}}\geq x^{4}+y^{4}(đpcm)$



#92 ttztrieuztt

ttztrieuztt

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 128 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Rubik :))

Đã gửi 14-07-2015 - 14:46

cho a, b, c t/m $0\leq a, b, c\leq 1$ CMR:

$\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}<2$

dấu "=" xảy ra khi nào?


                                                                                                       :like    CHUẨN THÌ LIKE SAI THÌ SỬA  :botay

                                                     

                                   :oto:    Sống là để cống hiến      :oto: 


#93 Truong Gia Bao

Truong Gia Bao

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 511 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Vùng đất linh hồn
  • Sở thích:Đọc truyện, xem phim, xúc xích và TOÁN HỌC!

Đã gửi 14-07-2015 - 15:05

cho a, b, c t/m $0\leq a, b, c\leq 1$ CMR:

$\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}<2$

dấu "=" xảy ra khi nào?

Đề bài bạn viết không có dấu "=" sao lại hỏi dấu "=" xảy ra khi nào   :(

Không mất tính giả sử $a\geq b\geq c$: $\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\leq \frac{b}{bc+1}+\frac{c}{bc+1}=\frac{b+c}{bc+1}$(1)

Mà $0\leq b,c\leq 1= > (1-b)(1-c)\geq 0= > bc+1\geq b+c= > \frac{b+c}{bc+1}\leq 1$(2)

Do $0\leq a,b,c\leq 1= > a\leq 1\leq 1+bc= > \frac{a}{bc+1}\leq 1$(3)

Từ (1),(2),(3) rồi cộng lại ta thu được đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$


"Điều quan trọng không phải là vị trí ta đang đứng, mà là hướng ta đang đi."

#94 ttztrieuztt

ttztrieuztt

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 128 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Rubik :))

Đã gửi 14-07-2015 - 15:14

Đề bài bạn viết không có dấu "=" sao lại hỏi dấu "=" xảy ra khi nào   :(

 

nhầm nguyên đề là còn 2 câu này nữa nè (yêu cầu y chang nha)

1)  $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

2)  $2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\leq 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

dấu "=" xảy ra khi nào


                                                                                                       :like    CHUẨN THÌ LIKE SAI THÌ SỬA  :botay

                                                     

                                   :oto:    Sống là để cống hiến      :oto: 


#95 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 15-07-2015 - 19:21

em có bài này thì phải làm ntn ạ?

CM bđt sau với a,b,c là các số thực dương:

$\frac{a+b}{a+c}+\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\leq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Lời giải: 

Đặt: $x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$

Khi đó BĐT được viết lại thành:

$\frac{x-1}{y+1}+\frac{y-1}{z+1}+\frac{z-1}{x+1}\geq 0$

Chứng minh BĐT này rất đơn giản:

Khai triển trực tiếp nó ra ta thu được BĐT sau:

$(xy^2+yz^2+zx^2)+(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)+3$

Sử dụng BĐT AM-GM dễ thấy:

$xy^2+yz^2+zx^2\geq 3xyz=3$

Và $x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\geq x+y+z$

BĐT được chứng minh


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#96 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 15-07-2015 - 19:28

nhầm nguyên đề là còn 2 câu này nữa nè (yêu cầu y chang nha)

1)  $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

2)  $2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\leq 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

dấu "=" xảy ra khi nào

Câu 2: 2) Từ giả thiết suy ra:$\sum (1-a^2)(1-b)\geq 0=>\sum a^2b+3\geq \sum a^2+\sum a$

Dễ thấy $\sum a^2+\sum a\geq 2(a^3+b^3+c^3)$ theo giả thiết

BĐT được chứng minh


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#97 ttztrieuztt

ttztrieuztt

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 128 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Rubik :))

Đã gửi 17-07-2015 - 11:16

Câu 2: 2) Từ giả thiết suy ra:$\sum (1-a^2)(1-b)\geq 0=>\sum a^2b+3\geq \sum a^2+\sum a$

Dễ thấy $\sum a^2+\sum a\geq 2(a^3+b^3+c^3)$ theo giả thiết

BĐT được chứng minh

bác làm câu 2: 1) nốt rồi làm thêm bài này nữa nè

$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \sqrt[4]{ab}$ với a, b > 0


                                                                                                       :like    CHUẨN THÌ LIKE SAI THÌ SỬA  :botay

                                                     

                                   :oto:    Sống là để cống hiến      :oto: 


#98 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Invisible in Havard Chùa Láng :v
  • Sở thích:ngày xưa còn thích trinh thám giờ thì chỉ thích về quê nuôi cá trồng rau cho đỡ nhức đầu thôi ạ =))))

Đã gửi 17-07-2015 - 11:31

bác làm câu 2: 1) nốt rồi làm thêm bài này nữa nè

$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \sqrt[4]{ab}$ với a, b > 0

$\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \sqrt[4]{ab}\Leftrightarrow \frac{2(\sqrt[4]{ab})^{2}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \sqrt[4]{ab}\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leq \frac{1}{2\sqrt[4]{ab}}\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}\geq 2\sqrt[4]{ab}\Leftrightarrow (\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})^{2}\geq 0$ 

(luôn đúng)

Ta có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 17-07-2015 - 11:31


#99 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Invisible in Havard Chùa Láng :v
  • Sở thích:ngày xưa còn thích trinh thám giờ thì chỉ thích về quê nuôi cá trồng rau cho đỡ nhức đầu thôi ạ =))))

Đã gửi 17-07-2015 - 11:44

nhầm nguyên đề là còn 2 câu này nữa nè (yêu cầu y chang nha)

1)  $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

2)  $2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\leq 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

dấu "=" xảy ra khi nào

2.1. Từ gt ta suy ra $(1-a^{2})(1-b)\geq 0\Rightarrow (1-a^{2})(1-b)+(1-b^{2})(1-c)+(1-c^{2})(1-a)\geq 0\Leftrightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+3\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c$

Dễ thấy $3\geq a+b+c$ (được suy ra từ gt)

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}< 1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a(đpcm)$

Dấu''='' không xảy ra



#100 ttztrieuztt

ttztrieuztt

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 128 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Rubik :))

Đã gửi 17-07-2015 - 11:48

2.1. Từ gt ta suy ra $(1-a^{2})(1-b)\geq 0\Rightarrow (1-a^{2})(1-b)+(1-b^{2})(1-c)+(1-c^{2})(1-a)\geq 0\Leftrightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+3\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c$

Dễ thấy $3\geq a+b+c$ (được suy ra từ gt)

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}< 1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a(đpcm)$

Dấu''='' không xảy ra

Dấu = có xảy ra đó bác, bác c/m đi chiều em làm cho


                                                                                                       :like    CHUẨN THÌ LIKE SAI THÌ SỬA  :botay

                                                     

                                   :oto:    Sống là để cống hiến      :oto: 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh