z nhờ anh giải giúp bài này ";
cho 3 số x, y,z thỏa mãn : $-1\leq x,y,z\geq 3$ và x+y+z=3$
chứng minh rằng : $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 11$
cảm ơn anh nhiều
Phải là $-1\leq x,y,z\leq 3$
Đặt x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1.
Có $-1\leq x,y,z\leq 3$ và $x+y+z=3$ nên $-2 \leq a;b;c \leq 2$ và $a+b+c=0$
Trong ba số a; b; c có hai số cùng dấu. G/s hai số đó là a và b thì $ab \geq 0$ nên $c^2 \leq 2^2=4$
Khi đó $\sum x^2=\sum (a+1)^2=\sum a^2+2.\sum a+3 \\ \leq (a+b)^2+c^2+3=(-c)^2+c^2+3=2c^2+3 \\ \leq 2.4+3=11$
Dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1. & & \\ a+b+c=0 & & \\ ab = 0 & & \\ c^2=4 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=0 & & \\ c=-2 & & \\ b=2 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y=-1 & & \\ z=3 & & \end{matrix}\right.$ (và các hoán vị của chúng)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 06-04-2014 - 22:09