Cho $2n$ giác đều nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Một bộ $3$ đỉnh của đa giác được gọi là nằm cùng phía nếu $3$ điểm đó nằm trên cùng một nửa đường tròn tâm $O$. Hãy tìm số cách chọn ra $3$ đỉnh phân biệt sao cho cả $3$ đỉnh này nằm cùng phía
Tìm số cách chọn ra $3$ đỉnh phân biệt sao cho cả $3$ đỉnh này nằm cùng phía
#2
Posted 26-07-2013 - 10:58
Mình nghĩ nếu gắn số từ 1 đến 2n vào mỗi đỉnh thì bài toán sẽ dễ giải quyết hơn... (Ko biết có được ko nhỉ?)
#3
Posted 26-07-2013 - 15:43
Edited by AnnieSally, 29-10-2013 - 17:24.
#4
Posted 26-07-2013 - 22:24
Xoá nội dung vì lý do đặc biệt
Edited by AnnieSally, 27-09-2013 - 19:27.
- LNH, nhatquangsin, Juliel and 1 other like this
#5
Posted 27-09-2013 - 15:19
Xét 2n giác đều $A_1A_2A_3...A_{2n}$ nội tiếp trong $(O)$
+ Xét nửa đg tròn chứa n+1 đỉnh $A_1,A_2,...,A_{n+1}$
...Chọn 3 trong n+1 đỉnh đó sẽ đc 3 đỉnh nằm cùng phía
...---> Trên nửa đg tròn đó có thể chọn đc $C_{n+1}^{3}$ bộ 3 đỉnh nằm cùng phía
+ Xét nửa đg tròn chứa n+1 đỉnh $A_2,A_3,...,A_{n+2}$ (bỏ $A_1$, thêm $A_{n+2}$)
...Ta có thể chọn thêm các bộ 3 mới bằng cách ghép $A_{n+2}$ với 2 trong n điểm
...còn lại ---> chọn thêm đc $C_{n}^{2}$ bộ 3 đỉnh nằm cùng phía nữa.
+ Xét nửa đg tròn chứa n+1 đỉnh $A_3,A_4,...,A_{n+3}$ (bỏ $A_2$, thêm $A_{n+3}$)
...Ta có thể chọn thêm các bộ 3 mới bằng cách ghép $A_{n+3}$ với 2 trong n điểm
...còn lại ---> chọn thêm đc $C_{n}^{2}$ bộ 3 đỉnh nằm cùng phía nữa.
+ ........................................…
.. ........................................…
+ Xét nửa đg tròn chứa n+1 đỉnh $A_{n+2},A_{n+3},...,A_1,A_2$ (bỏ $A_{n+1}$, thêm $A_2$)
...Ta có thể chọn thêm các bộ 3 mới bằng cách ghép $A_2$ với 2 trong n điểm
...còn lại ---> chọn thêm đc $C_{n}^{2}$ bộ 3 đỉnh nằm cùng phía nữa.
+ Xét nửa đg tròn chứa n+1 đỉnh $A_{n+3},A_{n+4},...,A_2,A_3$ (bỏ $A_{n+2}$, thêm $A_3$)
...Số bộ 3 đỉnh cùng phía chọn thêm đc là $C_{n}^{2}-C_{3}^{3}$
...($C_{3}^{3}$ là số bộ có đc từ $A_1,A_2,A_3$)
+ Xét nửa đg tròn chứa n+1 đỉnh $A_{n+4},A_{n+5},...,A_3,A_4$ (bỏ $A_{n+3}$, thêm $A_{4}$)
...Số bộ 3 đỉnh cùng phía chọn thêm đc là $C_{n}^{2}-C_{4}^{3}$
...($C_{4}^{3}$ là số bộ có đc từ $A_{1},A_2,A_3,A_4$)
+ ........................................…
.. ........................................…
+ Xét nửa đg tròn chứa n+1 đỉnh $A_{2n},A_1,...,A_{n-1},A_n$ (bỏ $A_{2n-1}$, thêm $A_n$)
...Số bộ 3 đỉnh cùng phía chọn thêm đc là $C_{n}^{2}-C_{n}^{3}$
...($C_{n}^{3}$ là số bộ có đc từ $A_1,A_2,...,A_n$)
Tổng cộng số cách chọn 3 đỉnh nằm cùng phía là
$C_{n+1}^{3}+(2n-1).C_{n}^{2}-(C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+C_{5}^{3}+...+C_{n}^{3})$
===========================
Ví dụ lục giác đều ABCDEF (n=3) có $C_{4}^{3}+5.C_{3}^{2}-C_{3}^{3}=18$ cách chọn 3 đỉnh
nằm cùng phía.Đó là
(A,B,C) (A,B,D) (A,C,D) (B,C,D)
(E,B,C) (E,B,D) (E,C,D)
(F,C,D) (F,C,E) (F,D,E)
(A,D,E) (A,D,F) (A,E,F)
(B,E,F) (B,E,A) (B,F,A)
(C,F,A) (C,F,B)
(Đúng $18$ cách, không hơn, không kém, không trùng lắp)
Edited by chanhquocnghiem, 30-09-2013 - 14:01.
- vietnam123456789 likes this
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#6
Posted 27-09-2013 - 16:55
Nhờ BQT xoá giùm 2 bài viết không có nội dung này của em
Edited by AnnieSally, 27-09-2013 - 22:34.
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users