Chủ đề này có 16 trả lời

[mathman145]

Các bạn cho hỏi đọc về đối ngẫu Spanier-Whitehead ở quyển sách nào? Hoặc là có ai tìm được bài:
Spanier, E. H. & Whitehead, J. H. C. (1955), "Duality in homotopy theory.", Mathematika 2: 56-80, MR0074823
thì tìm giúp mình với. Thanks.

[toilachinhtoi]

Bạn xem thử cuốn

"Spectra and generalized homology theories" của Adams

hay

cuốn về lịch sử Topo của J. Dieudonne

[mathman145]

Bạn xem thử cuốn

"Spectra and generalized homology theories" của Adams

hay

cuốn về lịch sử Topo của J. Dieudonne

Anh toilachinhtoi thân mến. Em vẫn chưa tìm thấy. Em đọc trong cuối K-theory của Blackadar có đoạn viết thế này ở trang 137:

"Complex K-theory is an extraordinary cohomology theory on compact Haus-
dorff spaces, and it has been of great interest to find concrete realizations of
the corresponding hornology theory, called K-homology. If X is a finite com-
plex, K,(X) can be defined by Spanier-Whitehead duality by embedding X as
a subset of a sphere of large odd dimension and taking the K-theory of the
complement. This definition is very clumsy to use in practice. "

Ai đó giải thích lại chính xác hơn cái đoạn ở trên với. Cụ thể là khi X là một finite complex thì K_{*}(X) được định nghĩa thế nào? (Nhúng X như một tập con của một cầu số chiều lẻ lớn và lấy K-lý thuyết của phần bù cụ thể là thế nào?) Cảm ơn nhiều.

[toanhoc]

Chẳng hiểu ông này nói gì nữa. Thứ nhất K theory đâu phải chỉ được định nghĩa trên compact space. Mặc dù có 2 cách định nghĩa K-theory khác nhau cho infinite complex (thực ra là 2 lý thuyết khác nhau nhưng trong các trường hợp được quan tâm thì chúng trùng nhau). Cách 1: lấy inverse limit của K*(finite skeleta). Cách 2: K^n(X)=[X,K]_{-n} trong đó K là spectra cho complex K theory (nhờ định lý tuần hoàn Bott nên thực ra chỉ có K^0 và K^1 lặp đi lặp lại). Tổng quát thì 2 thứ này khác nhau. Cách 1: Lợi điểm: Tính được. Cách 2: fit into a bigger picture called representable theory. Còn homology thì có thể định nghĩa K_n(X)=[S,K\smash X]_n.
Spanier-Whitehead duality là 1 ý tưởng cổ xưa (mặc dù hiện nay nó được phục hưng ở 1 setting khác). Ý chính là nhúng cái finite complex vào 1 cầu thì ordinary cohom theory không detect được các cách nhúng khác nhau.
Tham khảo tốt: K theory của Atiyah và bài "Characters and finite groups" của ông. Trong bài báo, bạn sẽ thấy Atiyah tính bằng cách 1 và chứng minh 1==2 dựa vào điều kiện Mittag-Lefller để show là cái Milnor lim^1 == 0. Đây chính là định lý Atiyah-Segal (ko phải Atiyah-Singer nhé)

[toilachinhtoi]

Không hiểu câu của mathman có nghĩa gì. Theo tôi biết thì Spanier-Whitehead duality nói về mối liên hệ giữa hômlogy của X và Ceck cohomology của phần bù của X.

[toilachinhtoi]

À có lẽ là nếu tính generalized (co)hômlogy theo nghĩa của Adams thì sẽ giống như ý của mathman chănng? Nếu vậy có lẽ mathman nên đọc cuốn sách của Adams.

[toanhoc]

Cách Adams định nghĩa là cách thứ 2 và tất cà các cohom theory đều được định nghĩa như vậy (kể cả ordinary: H*(X;A) := [X, K(A,n)] trong đó K(A,n) là Eilenberg-MacLane space). Cái này được gọi là representable functors. Sách của Mathman tôi nghĩ tiếp cận theo kiểu khá nguyên thủy, lúc mọi người còn đang mò mẫm 1 ĐN đúng cho cohom (hoặc homo), giống như định nghĩa homology của 1 orỉented manifold n-chiều bằng Poincare duality: H_k(M) := H^{n-k}(M).
Tuy nhiên, tôi có thể sai. Tôi không dám chắc, vì tôi biết vài ví dụ mà 1 định nghĩa giống vậy works all the time như cái Gysin sequence (dùng chứng minh hình học qua Euler class, không dùng Serre spectral sequence) works all the time cho bất kỳ complex oriented cohomology nào. Điều đó dẫn đến E*(BC_n) := E*[|x|]/[n](x) trong đó C_n là nhóm cyclic n phần tử, x là complex orỉentation, [n](x) là n series ứng với formal group law. Complex cohom cover hầu hết các lý thuyết được quan tâm trong đó có Morava K theory.

[mathman145]

Chẳng hiểu ông này nói gì nữa. Thứ nhất K theory đâu phải chỉ được định nghĩa trên compact space.

Cái này là ông Blackadar nói, em đã trích dẫn ở trên, cụ thể ở trang 137. Mục đích ông ấy nêu ra như vậy là để đặt vấn đề. Ý là trong trường hợp phức hữu hạn thì người ta định nghĩa được K-homology đối ngẫu với K-theory (generalized cohomology theory). Atiyah muốn đưa ra một cách định nghĩa lý thuyết toán tử cho cái K-homo đó. Ông ấy đưa ra cái khái niệm Ell(X) nhưng chưa chỉ ra được quan hệ tương đương trên đó để khi chia thương nó trùng với K-homo của X. Brown-Douglas-Fillmore đã trả lời được câu hỏi trên của Atiyah. Cũng xuất phát nghiên cứu vấn đề này của Atiyah và kết quả của BDF mà Kasparov đã cho ra đời KK-theory. các Kasparov bimodule chính là một tổng quát hóa của Ell. Và kết quả $KK^1(A,B)$ đẳng cấu với $Ext(A,B)$ được coi như một phiên bản không giao hoán của kết quả mà BDF thu được.
Thực ra em chỉ cần phần đằng sau nhưng mà muốn hiểu cái dẫn dắt tới ý tưởng của Atiyah. Dù sao cũng cảm ơn toanhoc và toilachinhtoi. đọc bài của anh toanhoc em cũng hình dung ra để hiểu cái đối ngẫu S-W thì phải đọc cái gì.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathman145: 16-10-2008 - 01:44

[mathman145]

Bạn xem thử cuốn

"Spectra and generalized homology theories" của Adams

Sao em search mãi trên books.google.com không thấy quyển này nhỉ. Anh toilachinhtoi xem lại giúp em xem có phải là cuốn này không:
Stable homotopy and generalised homology (Chicago lectures in Mathematics)
by J. Frank Adams
(link trên gigapedia)

[Kakalotta]

Cái quan trọng nhất khi học KK-theory là chú ý cái công thức product khi compose các KK-functor giữa phạm trù các module, cụ thể hơn là technical lemma để tính product các elliptic operators. K-lý thuyết thì có thể coi là một loại cohomology và do đó, khi ta có một cohomology thì ta luôn có dual theory, khi nhúng nó vào một hình cầu số chiều đủ lớn. Cái điều này đúng cho mọi pairing bettween homology và cohomology và đó là motivation của lý thuyết. Tuy nhiên, định nghĩa cách này thì ko thể tính được, cho nên người ta delete nó ra khỏi mainstream of math và sử dụng định nghĩa thông thường của cohomology... Ý tưởng thì cũng không quá phức tạp, gần giống như đối ngẫu Poicare và dual CW complex, (gần giống như kiểu phép đối cực trong hình học xạ ảnh)...

[toilachinhtoi]

@mathman: Ừ đúng là cuốn sách đó. Xin lỗi đã ghi nhầm tên sách. Trong phần 3 của cuốn sách có nói về đối ngẫu Spanier và Whitehead.

[toanhoc]

À hay quá ! Vậy mathman nói tiếp dòng ý tưởng này đi. Tôi tò mò về mấy món này. Theo cách nhìn của tôi thì là ý nghĩa giải tích của các cohomology theories. Ordinary thì là De Rham, K theory thì là Index theorem, elliptic hình như là Witten genus thì phải. Nhưng mấy thứ này tôi toàn nghe đồn, chẳng hiểu. Bên AT có Chromatic filtration mà cái khó nhất có lẽ là ý nghĩa giải tích.

[toanhoc]

Bây giờ, tôi biết interest của mathman rồi nên xin tóm tắt SW-duality ngắn gọn thế này: X là finite complex, nhúng X vào S^n, gọi CX là complement thì X does not determine the homotopy type of CX, but X does determine the stable homotopy type of CX. Nói cách khác, gọi SX là suspension của X thì CX trong S^n homotopy equivalent to C(SX) trong S^{n+1}. Vì các cohomology theories là stable (suspension axiom) nên không thể detect các cách nhúng khác nhau. Ý này giải thích cho bình luận của Kaka ở trên. Tôi không biết nhìn theo hướng giải tích thì mấy điều này có ích không vì hình như chỉ dân homotopy mới quan tâm đến stable or unstable homotopy type. Có hệ quả naiive là chiêu này không detect được smooth type nên chắc vô ích cho giải tích.

[Kakalotta]

Y tuong cua cai tro nay thi la the nay.
K ly thuyet co the hieu la cac pair (de co the take minus) cua cac vector bundle over some space (commutative or noncommutative). K-homology co the coi la lop tuong duong cac Elliptic operator acting on that, ở đây các toán tử ellliptic là các toán tử vi phân "almost invertible" modulo some space of low dimension. Pairing cua homology và cohomology trong trường hợp này chính là lý thuyết chỉ số của Atyah-Singer, (ở mức độ cổ điển hoặc lượng tử).
Trước kia người ta dự đoán sự tồn tại của K-homology thông qua đối ngẫu SW, tuy nhiên không thể tính được cụ thể, cho đến khi tìm ra formulation dưới dạng này.

Tôi nghe nói Witten genus come from index theory của Dirac operator on loop space, nhưng nói chung thì có vẻ cũng gần giống trò <K^*,K_*> như trên, áp dụng cho loop space. Theo tôi đoán thì có một cách formulate vấn đề này dưới dạng higher category theory và stack, nhưng tôi chưa figure out ra cụ thể.

Chromatic filtration thì tôi không biết....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kakalotta: 17-10-2008 - 04:29

[Alexi Laiho]

Thấy các bác bàn bạc về homotopy hăng hái quá, hôm nọ có nghe 1 người trình bầy seminar về stable homotopy trong hình học đại số, link về với $\mathbb{A}^1$-homotopy của Voevodsky, tất nhiên là mình ngồi nghe thì chả hiểu gì rồi.

Chuyển đề tài tí nhỉ, có ai đang quan tâm tới $\pi_1^{et}(X,\overline{x})$ không nhỉ? Tớ đang đọc bài Weil II của Deligne.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexi Laiho: 19-10-2008 - 03:46

[Kakalotta]

Không biết có cách nào có thể định nghĩa được $\Pi_2^{etale}$ của một scheme/stack không nhỉ, ít nhất ở mức độ rational?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kakalotta: 23-10-2008 - 15:09

[Alexi Laiho]

Không biết cách định nghĩa higher homotopy, nhưng cho etale topology thì không chắc nó đã thú vị, but i dont know. Anyway, fundamental group được defined như là Galois group, vậy nên nếu muốn có như kiểu bên topology, thì chắc phải dùng A^1-homotopy may ra mới construct được \pi_n, for n>1 (đoán thế).