Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$4rr'\le R^2-OM^2$

psw

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 lehoan

lehoan

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vinh
  • Sở thích:Gái, Gái và Gái.

Đã gửi 28-05-2005 - 09:45

Cho tam giác $ABC$ có $M$ thuộc miền trong của tam giác. Các đường thẳng $AM;BM;CM$ cắt đường tròn $(ABC)$ tại $A',B',C'$. Gọi $r$ và $r'$ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác $ABC$ và $A'B'C'$, còn $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
Chứng minh rằng:

$$4rr'\le R^2-OM^2$$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 29-10-2013 - 16:50


#2 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4121 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 06-07-2013 - 22:52

Lời giải:

Từ (1) trong http://diendantoanho...cma-1-dạt-gtnn/

Ta có:\[
\frac{{MA.BC}}{{B_1 C_1 }} = \frac{{MB.MC}}{{MA_1 }} = \frac{{MA.MB.MC}}{{MA.MA_1 }} = \frac{{MA.MB.MC}}{{R^2  - OM^2 }}
\]
Do đó, kết hợp với kết quả bài toán trong link trên, ta có:\[
\frac{{MA.MB.MC}}{{R^2  - OM^2 }} \ge 2r
\]
Áp dụng tương tự cho $\triangle A_1B_1C_1$ thì ta cũng có\[
\frac{{MA_1 .MB_1 .MC_1 }}{{R^2  - OM^2 }} \ge 2r_1
\]
Cho nên\[
4rr_1  = 2r.2r_1  \le \frac{{MA.MB.MC}}{{R^2  - OM^2 }}.\frac{{MA_1 .MB_1 .MC_1 }}{{R^2  - OM^2 }} = \frac{{\left( {R^2  - OM^2 } \right)^3 }}{{\left( {R^2  - OM^2 } \right)^2 }} = R^2  - OM^2
\]
Ta có đpcm.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#3 ngoctruong236

ngoctruong236

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10 Toán 1,THPT chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:inequalities,geometry and number theory

Đã gửi 07-07-2013 - 12:15

 
Ta có:
MA.BCB1C1=MB.MCMA1=MA.MB.MCMA.MA1=MA.MB.MCR2 −OM2
 
Do đó, kết hợp với kết quả bài toán trong link trên, ta có:
MA.MB.MCR2 −OM2≥2r
 
Áp dụng tương tự cho △A1B1C1 thì ta cũng có
MA1.MB1.MC1R2 −OM2≥2r1
 
Cho nên
4rr1 =2r.2r1 ≤MA.MB.MCR2 −OM2.MA1.MB1.MC1R2 −OM2=(R2 −OM2)3(R2 −OM2)2=R2 −OM2
 

ko nham thi bai nay giai vay



#4 aao5717

aao5717

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Nguyễn Du, Quận 1
  • Sở thích:ĐƯỢC LIKE NHIỀU

Đã gửi 07-07-2013 - 19:20

 

 
Ta có:
MA.BCB1C1=MB.MCMA1=MA.MB.MCMA.MA1=MA.MB.MCR2 −OM2
 
Do đó, kết hợp với kết quả bài toán trong link trên, ta có:
MA.MB.MCR2 −OM2≥2r
 
Áp dụng tương tự cho △A1B1C1 thì ta cũng có
MA1.MB1.MC1R2 −OM2≥2r1
 
Cho nên
4rr1 =2r.2r1 ≤MA.MB.MCR2 −OM2.MA1.MB1.MC1R2 −OM2=(R2 −OM2)3(R2 −OM2)2=R2 −OM2
 

ko nham thi bai nay giai vay

 

trời nhìn wa tưởng bạn coppy của anh perfectstrong!!!



#5 AnnieSally

AnnieSally

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 647 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 08-07-2013 - 10:36

Ta có: $MA.MA'=R^{2}-OM^{2}$

Ta có BĐT sau:

 

$\frac{MA.MB.MC}{MA.MA'}=\frac{MA.MB.MC}{R^{2}-OM^{2}}\geq 2r$

 

Áp dụng tương tự cho tam giác A'B'C'

 

$\Rightarrow \frac{MA'.MB'.MC'}{R^{2}-OM^{2}}\geq 2r'\Rightarrow 4rr'\leq \frac{MA.MB.MC}{R^{2}-OM^{2}}.\frac{MA'.MB'.MC'}{R^{2}-OM^{2}}$

 

$=\frac{(MA.MA')(MB.MB')(MC.MC')}{(R^{2}-OM^{2})^{2}}=\frac{(R^{2}-OM^{{2}})^{{3}}}{(R^{{2}}-OM^{{2}})^{{2}}}$$=R^{{2}}-OM^{{2}}$ (đpcm)

 

 

P/s: bài này hình như chỉ có mỗi cách này


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 27-09-2013 - 16:31


#6 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 01-09-2013 - 22:20

bài này trong sách bt toán 9 của Thăng Long cũng có



#7 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-10-2013 - 21:14

Chấm điểm: perfectstrong : 10 điểm


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh