CMR $\dfrac{xz^2}{2y^3+yz^2}+\dfrac{zy^2}{2x^3+xy^2}+\dfrac{yx^2}{2z^3+zx^2}\geq 1$ với $x,y,z$ là các số dương.
Thách đố
Bắt đầu bởi themoon, 16-10-2008 - 18:30
#1
Đã gửi 16-10-2008 - 18:30
#2
Đã gửi 04-12-2008 - 07:54
Ta đặt a=$\dfrac{x}{y}$ ,b=$\dfrac{y}{z}$ ,c=$\dfrac{z}{x}$ từ đó bài toán trở thành
$\dfrac{a}{1+2b^2}+\dfrac{b}{1+2c^2}+\dfrac{c}{1+2a^2}$ 1 với abc=1
$ a+b+c+2(a^3+b^3+c^3)+2(ac^2+ba^2+cb^2)+4(a^3c^2+b^3a^2+c^3b^2)$ $1+2(a^2+b^2+c^2)+4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+8a^2b^2c^2$.
Theo Côsi ta có : $ (a+a^3)$ $2a^2$
$(2ac^2+2a^3c^2)$ $4a^2c^2$
$a^3+b^3+c^3+2(a^3c^2+b^3a^2+c^3b^2)$ $ 9=1+8a^2b^2c^2$ do abc=1
Cộng tất cả các bất đẳng thức đó lại vế theo vế ta được đpcm
$\dfrac{a}{1+2b^2}+\dfrac{b}{1+2c^2}+\dfrac{c}{1+2a^2}$ 1 với abc=1
$ a+b+c+2(a^3+b^3+c^3)+2(ac^2+ba^2+cb^2)+4(a^3c^2+b^3a^2+c^3b^2)$ $1+2(a^2+b^2+c^2)+4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+8a^2b^2c^2$.
Theo Côsi ta có : $ (a+a^3)$ $2a^2$
$(2ac^2+2a^3c^2)$ $4a^2c^2$
$a^3+b^3+c^3+2(a^3c^2+b^3a^2+c^3b^2)$ $ 9=1+8a^2b^2c^2$ do abc=1
Cộng tất cả các bất đẳng thức đó lại vế theo vế ta được đpcm
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh