Đến nội dung

Hình ảnh

Vành giao hoán


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
likemaths

likemaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết
Em có vài bài trong Vành Giao Hoán, các bác chỉ em với nhé Thks các bác nhiều.

1. Chiều ngược lại của định lý Hilbert Basic Theorem còn đúng không?

2. $R=k[X_1,..,X_n]$
a. Giả sử $I_1=X_{i_1}^{e_1}...X_{i_r}^{e_r}$ là một monomial ($r\leq n$). Mô tả irredundant primary decomposition of the principle ideal $(I_1)$, giving the primary ideals specifying their radicals.
b. Giả sử $I_2=X_{i_1}^{f_1}...X_{i_s}^{f_s}$ là một monomial khác. Câu hỏi như câu a với $(I_1,I_2)$.

3. $R$ là vành Noether. $M$ là ideal tối đại của $R$. $Q$ là một ideal của $R$. Khi đó ta có ba điều sau tương đương:
(i) $Q$ mà $M$ nguyên sơ.
(ii) $rad(Q)=M$.
(iii) $M^n\subset Q\subset M$.

Tìm một phản ví dụ cho ba kết quả trên khi $R$ không là vành Noether.

4. Cohen's Theorem:
$R$ í Noetherian if and only if every prime ideal is finitely generated.
a. Is it true if we replace "Prime ideal" by "Maximal ideal".
b. Is it true if we replace "Prime ideal" by "minimal non-zero prime ideal".

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi likemaths: 24-10-2008 - 03:49


#2
redline

redline

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

Em có vài bài trong Vành Giao Hoán, các bác chỉ em với nhé Thks các bác nhiều.

1. Chiều ngược lại của định lý Hilbert Basic Theorem còn đúng không?

2. $R=k[X_1,..,X_n]$
a. Giả sử $I_1=X_{i_1}^{e_1}...X_{i_r}^{e_r}$ là một monomial ($r\leq n$). Mô tả irredundant primary decomposition of the principle ideal $(I_1)$, giving the primary ideals specifying their radicals.
b. Giả sử $I_2=X_{i_1}^{f_1}...X_{i_s}^{f_s}$ là một monomial khác. Câu hỏi như câu a với $(I_1,I_2)$.

3. $R$ là vành Noether. $M$ là ideal tối đại của $R$. $Q$ là một ideal của $R$. Khi đó ta có ba điều sau tương đương:
(i) $Q$ mà $M$ nguyên sơ.
(ii) $rad(Q)=M$.
(iii) $M^n\subset Q\subset M$.

Tìm một phản ví dụ cho ba kết quả trên khi $R$ không là vành Noether.

4. Cohen's Theorem:
$R$ í Noetherian if and only if every prime ideal is finitely generated.
a. Is it true if we replace "Prime ideal" by "Maximal ideal".
b. Is it true if we replace "Prime ideal" by "minimal non-zero prime ideal".


1. Định lý cơ sở của Hilbert ngược hiển nhiên đúng vỉ R đẳng cấu với R[x]/(x).

3. Phản ví dụ. Xét vành đa thức vô hạn biến $S = K[x_1,x_2,...,x_n,...]$ trên trường K. Thì S có iđêan cực đại là $M = (x_1,x_2,...,x_n,...)$. Xét iđêan $Q = (x_1^1,x_2^2,...,x_n^n,...)$. Rõ ràng $Rad(Q) = M$ nhưng không tồn tại số nguyên dương $k$ nào để $M^k \subseteq Q$.

4. Cả hai trường hợp đều có thể tìm được phản ví dụ.

a) Xét vành R gồm các mầm các hàm thực giải tích tại lân cận điểm 0. Khi đó R là vành địa phương với iđêan cực đại $m = (x)$ (x - hàm đồng nhất). Khi đó iđêan $\bigcap\limits_{i=1}^{ \infty} m^i \neq 0$. Vì iđêan này chứa mầm hàm f xác định bởi
$f(0)$ = 0 và $f(x) = e^{-1/x^2}$ nếu $x \neq 0$. Như vậy, R không phải là vành Noether. Vì trong trường hợp ngược lại. Giao này phải bằng 0 theo định lý giao Krull.

b) Lại xét vành đa thức vô hạn biến S như trong 3). Khi đó S là miền nguyên. Và dễ thấy, mọi iđêan nguyên tố "tối tiểu" khác 0 của S đều sinh bởi một đa thức bất khả quy, nghĩa là iđêan chính. Tuy nhiên S không phải vành Noether.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redline: 04-11-2008 - 16:42





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh