10 replies to this topic

[quangvinht2]

Mời các bác làm thử.
Đề chọn đội tuyển toán lớp 12 năm học 2008-2009
Câu 1. Giải hệ phương trình
$ x^{2}+y^{2}+z^{2}=yz+ \dfrac{8}{x} =2zx - \dfrac{2}{y} =3xy + \dfrac{18}{z} $
Câu 2. Cho dãy số xác định bởi $ x_{1}=1; x_{n+1}= \dfrac{1}{2((x_{n})^{2}+1)}-2008 $. Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn.
Câu 3. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là điểm giữa của cung BC không chứa điểm A và K là trung điểm của BC. Hai tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau ở M; AM cắt BC tại N.
Chứng minh rằng: 1) AI là phân giác góc $ \widehat{MAK} $
2) $ \dfrac{NB}{NC}= \dfrac{AB^{2}}{AC^{2}} $
Câu 4. Tìm tất cả các hàm số liên tục trên R và thỏa mãn
$f(x)-2f(2x)+f(4x)=x^{2}+x$ với mọi x
Câu 5. Cho a, b, c là các số không âm phân biệt. Chứng minh rằng
$(a^{2}+b^{2}+c^{2})( \dfrac{1}{(a-b)^{2}}+ \dfrac{1}{(b-c)^{2}}+ \dfrac{1}{(c-a)^{2}}) \geq \dfrac{11+5 \sqrt{5} }{2} $
Câu 6. Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 được chia thành 64 ô vuông đơn vị, người ta bỏ đi một ô vuông đơn vị nào đó ở vị trí hàng thứ m và cột thứ n . Gọi S(m;n) là số hình chữ nhật được tạo bởi một hay nhiều ô vuông đơn vị của bàn cờ sao cho không có ô nào trùng với vị trí của ô bị xóa bỏ ban đầu. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của S(m;n).

[quangvinht2]

Có file lun

Attached Files

•  chon_doi_tuyen_12_nam_2008.doc   128.5KB   452 downloads

[vuthanhtu_hd]

Bài 5 chắc là dồn biến toàn miền $f(a,b,c) \geq f(a-c,b-c,0$) .Trông na ná bài thi VMO 2008

Edited by vuthanhtu_hd, 03-11-2008 - 15:37.

[Allnames]

bài 1 rút x,y,z, ra thế vào có lẽ được
Bài 2$ f(x_n)=x_{n+1},|f'(x)| <1$,nên dãy có lim,thế vào và gpt
Bài hình em ko có giấy nháp (nhưng nhìn thì bài này cũ rồi,ha ha,của thầy NMinh Hà,N là điểm đối trung của tam giác)
Bại 5 anh Tú giải rồi
Bài 4 chắc là đặt $g(x)=f(2x)-f(x)-a x^2+bx$,hệ số bất định tìm cái a,b,hay vào tìm hàm luôn(đến đây đơn giản rồi)
Bài 6 có ai làm cái ạ,tổ hợp em bó tay

Edited by tanlsth, 03-11-2008 - 17:43.

[tanlsth]

Bài này thì là bài đếm cơ bản thôi.

Đầu tiên là ta dựa vào kết quả một hình chữ nhật kích thước $m.n$ bất kì thì có $S_{mn}=\dfrac{mn(m+1)(n+1)}{4}$ hình chữ nhật con trong nó

Gọi ô xóa đi có vị trí là $(m,n)$ với $1 \leq m,n \leq 8$

Khi đó hình vuông sẽ bị phân thành các hình chữ nhật lớn sau $8.(n-1) , 8.(8-n) , (m-1).8 , (8-m).8$ và có $4$ hình chữ nhật là giao của các hình chữ nhật lớn này là $(m-1).(n-1) , (m-1).(8-n) , (8-m).n , (8-m).(8-n)$

Số hình chữ nhật cần tìm chính là $S(m,n)=S_{8(n-1)}+S_{8(8-n)}+S_{(m-1)8}+S_{(8-m)8}-(S_{(m-1)(n-1)}+S_{(m-1)(8-n)}+S_{(8-m)n}+S_{(8-m)(8-n)})$

Đến đây ta có thể chứng minh như sau, khỏi mất công tính ra .

Do tính đối xứng của $m,n$ nên ta có thể giả sử $1 \leq m,n \leq 4$ và bằng cách xét hiệu ta có $S(m,n) \geq S(m+1,n) (m \leq 3)$

Vì vai trò $m,n$ như nhau nên cũng có $S(m,n) \geq S(m,n+1) (n \leq 3)$ và như thế ta sẽ có giá trị lớn nhất và bé nhất của $S(m,n)$ là $S(1,1)$ và $S(4,4)$

[H.Quân- ĐHV]

Mặc dù là bài tóan đếm cơ bản nhưng anh Tân làm khủng quá!
S(n,m) = $ \dfrac{8^2(8+1)^2}{4} - mn(9-m)(9-n). $
S_min = $ S(4,4 $ hoặc $ S(5,5) $ . Va $ S_max = S(1,1) $ hoặc $ S(8,8) $

Edited by H.Quân- ĐHV, 20-11-2008 - 11:00.

[quangvinht2]

Với thời gian kiểm tra 150 phút thì bài 6 vậy cũng đủ chêt. Có ai nghĩ đến bài tổng quát khi cho bàn cờ mxn và xóa k ô tùy ý. Tìm min, max của số hình chữ nhật như trên không?

[hongthaidhv]

Bài 2$ f(x_n)=x_{n+1},|f'(x)| <1$,nên dãy có lim,thế vào và gpt

Sorry, I don't understand. Ai đó giải thích hộ em tại sao |f'(x)| <1 thì dãy có lim hok, em hok hỉu lắm ( các cấy trên thì hiểu rùi)

[MrMATH]

Sorry, I don't understand. Ai đó giải thích hộ em tại sao |f'(x)| <1 thì dãy có lim hok, em hok hỉu lắm ( các cấy trên thì hiểu rùi)

Tiện thể chưa biết về ánh xạ co, em chịu khó đọc cả bài của anh toilachinhtoi nhé
http://diendantoanho...showtopic=12238

[zaizai]

Sorry, I don't understand. Ai đó giải thích hộ em tại sao |f'(x)| <1 thì dãy có lim hok, em hok hỉu lắm ( các cấy trên thì hiểu rùi)

Cái này có thể hiểu 1 cách hoàn toàn sơ cấp bằng kiến thức phổ thông thôi Chứng minh sử dụng định lí Lagrange. Và đây cũng là 1 định lí nên biết vì được sử dụng khá nhiều trong tính giới hạn dãy số Trích 1 trang trong bài viết về dãy số của mình nộp cô giáo hồi trước

Attached Images

• 

[Ruka]

Mời các bác làm thử.
Đề chọn đội tuyển toán lớp 12 năm học 2008-2009
Câu 1. Giải hệ phương trình
$ x^{2}+y^{2}+z^{2}=yz+ \dfrac{8}{x} =2zx - \dfrac{2}{y} =3xy + \dfrac{18}{z} $
Câu 2. Cho dãy số xác định bởi $ x_{1}=1; x_{n+1}= \dfrac{1}{2((x_{n})^{2}+1)}-2008 $. Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn.
Câu 3. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là điểm giữa của cung BC không chứa điểm A và K là trung điểm của BC. Hai tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau ở M; AM cắt BC tại N.
Chứng minh rằng: 1) AI là phân giác góc $ \widehat{MAK} $
2) $ \dfrac{NB}{NC}= \dfrac{AB^{2}}{AC^{2}} $
Câu 4. Tìm tất cả các hàm số liên tục trên R và thỏa mãn
$f(x)-2f(2x)+f(4x)=x^{2}+x$ với mọi x
Câu 5. Cho a, b, c là các số không âm phân biệt. Chứng minh rằng
$(a^{2}+b^{2}+c^{2})( \dfrac{1}{(a-b)^{2}}+ \dfrac{1}{(b-c)^{2}}+ \dfrac{1}{(c-a)^{2}}) \geq \dfrac{11+5 \sqrt{5} }{2} $
Câu 6. Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 được chia thành 64 ô vuông đơn vị, người ta bỏ đi một ô vuông đơn vị nào đó ở vị trí hàng thứ m và cột thứ n . Gọi S(m;n) là số hình chữ nhật được tạo bởi một hay nhiều ô vuông đơn vị của bàn cờ sao cho không có ô nào trùng với vị trí của ô bị xóa bỏ ban đầu. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của S(m;n).

E chưa hiểu $|f'(x)| < 1$ là làm như nào nên  ..

Câu 2:

Xét hiệu $x_{n+1} - x_n = \dfrac{1}{2x_n^2 + 1} - 2008 - x_n $

 

$= \dfrac{-1004x^2 - 1003 - 2x_n(x_n^2+1)}{2(x_n^2 + 1)}$

 

Dễ thấy $x_{n+1} - x_n < 0 \to x_{n+1} < x_n$ hay $(x_n)$ là dãy giảm 

 

Giả sử dãy $(x_n)$ bị chặn dưới. Theo đ/lý weierstrass thì dãy $(x_n)$ có giới hạn

 

Đặt $\displaystyle\lim x_n = a ( a < 1)$

 

Khi đó ta có :

$a = \dfrac{1}{2(a^2+1)} - 2008$

 

$\to 2a^3 + 2a + 4016a^2 + 4015 = 0$

 

$\to a = - 2008(\text{satisfied})$

 

Vậy dãy $x_n$ đã cho có giới hạn hữu hạn và $lim x_n = -2008$

Edited by Ruka, 18-02-2023 - 23:55.