Chủ đề này có 21 trả lời

[Harry Potter]

Từ điều kiện bài toán thì dễ dàng thấy$ f(n)-n-1$ chia hết cho $3$ với mọi $n$. Đặt $ h(n)=\dfrac{f(n)-n-1}{3}$.
Ta có $h(1)=0, h(2)=-1$. Và $h(3k)=h(3k+1)=3h(k)+1;h(3k+2)=3h(k)$.

Từ đó ta thấy, $m\in h(N*) $ khi và chỉ khi $[\dfrac{m}{3}]$ hoặc $[\dfrac{m}{3}]+1\in h(N*)$.

Tức là $[\dfrac{m}{3^t}]$ không đồng dư với $2 \pmod 3$ với mọi $ t$. Tức là trong biểu diễn cơ số 3 của $m$, chỉ có chữ số $0$ và $ 1$.

Thấy ngay $669=220210_3$ nên không thuộc $h(N*)$. Suy ra không tồn tại $n$ thỏa mãn.

Hàm h sẽ dễ dàng nhận ra từ những dữ kiện của f

P/s : Lâu rồi hok spam Nhớ diễn đàn quá

[Ruka]

 

HẢI PHÒNG -VÒNG 2

Bài 1.
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $x^2+y^2+z^2+t^2=10.2^{2008}$

Bài 2.
Cho 3 số thực dương x,y,z thoả mãn $x+y+z+1=4xyz$. Chứng minh rằng: $xy+yz+xy \ge x+y+z$

Bài 3.
Cho hàm số $f\left( x \right):N^* \to N$ thoả mãn:
$\left\{ \begin{array}{l} f(1) = 2;f(2) = 0; \\f(3k) = 3f(k) + 1;f(3k + 1) = 3f(k) + 2;f(3k + 2) = 3f(k) \\\end{array} \right.$

Hỏi có thể tồn tại $n$ để $f(n)=2008$ được không?

Bài 4.
Cho tam giác ABC với O, I theo thứu tự là tâm của đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng $\widehat{AIO} \le 90^0$ khi và chỉ khi $AB + AC \ge 2.BC$

Bài 5.
Cho dãy $(u_n)$ thoả mãn: $\left\{ \begin{array}{l} u_1 = 1 \\u_{n + 1} = u_n + \dfrac{{u_n^2 }}{{2008}} \\\end{array} \right.$, hãy tính $\lim \left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{{u_i }}{{u_{i + 1} }}} } \right]$

 

Câu 5

Dễ dàng CM theo qui nạp ta có được $u_n > 0$

Xét hiệu $u_{n+1} - u_n = \dfrac{u_n^2}{2008} > 0$

$\to$ dãy $u_n$ tăng ngặt

Giả sử dãy bị chặn trên. Khi đó theo định lí Weierstrass thì dãy có giới hạn hữu hạn

Đặt $\displaystyle\lim u_n = a(a > 1)$

Khi đó ta được: $a = a + \dfrac{a^2}{2008} \to a = 0(\text{vô lí})$

Vậy $lim u_n = +\infty$

Từ hệ thức truy hồi ta có được:

 

$u_{n+1} - u_n = \dfrac{u_n^2}{2008}$

 

$\to \dfrac{2008(u_{n+1}  - u_n)}{u_n . u_{n+1}} = \dfrac{u_n^2}{u_n . u_{n+1}}$

 

$\to 2008(\dfrac{1}{u_n} - \dfrac{1}{u_{n+1}}) = \dfrac{u_n}{u_{n+1}}$

 

Vậy $lim \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{u_i}{u_{i+1}} = lim (\dfrac{1}{u_1} - \dfrac{1}{u_{n+1}})= \dfrac{1}{u_1} = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 18-02-2023 - 23:00