Chủ đề này có 7 trả lời

[Nguyen Thang LS]

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN LỚP 12
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN

Các bạn download file nhé!

Nguồn: http://maths4vn.net

File gửi kèm

•  DechondoituyenLS.pdf   94.3K   1210 Số lần tải

[supermember]

Bài dãy số thì cũ rồi nhưng cũng khá hay

Chuyển phương trình về dạng : $f(x) \ = \ x^{2n+1} \ - \ x \ - \ 1 \ = \ 0$


Ta có $f(x)$ là hàm sơ cấp xác định trên $R$ nên liên tục trên $R$

mà $f(1) \ = \ -1 < 0$ và $\lim_{x \ \to \ + \infty}^{} f(x) \ = \ \ + \infty $

nên phương trình $f(x) \ = \ 0$ có nghiệm trên $(1 \ , \ + \infty \)$


$f'(x) \ = \ (2n+1)x^{2n} \ - \ 1 > 0$ với $x \ \geq \ 1$

$ \Rightarrow f(x)$ là hàm đơn điệu tặng trên $[1 \ , \ + \infty \)$

$ \Rightarrow $ phương trình $f(x) \ = \ 0$ có nghiệm duy nhất $x_n$ trên $(1 \ , \ \infty \)$

$ *$ với $0 \ \leq \ x \ < 1$ hay $x \ \leq \ -1$thì $x^{2n +1} \ -\ x \ = \ x \( x^{2n} \ - \ 1 \) \ \leq \ 0 $


$ \Rightarrow f(x) \ < \ 0$

$*$ với $-1 <x < 0$ thì $x \(x^{2n} -1 \) = \| x \(x^{2n} -1 \) \| = |x \( 1 \ - \ x^{2n} \)| \ < \ |x| \ < \ 1 \Rightarrow f(x) \ < \ 0 $

nên phương tình vô nghiệm trên $\( - \infty \ , \ 1 ]$

$ \Rightarrow $ phương trình $f(x) \ = \ 0$ có nghiệm duy nhất $x_n \forall n \in N^{*}$


Ta có $x^{2n+1}_n \ = \ x_n \ + \ 1$

$ \Rightarrow x_n \ = \ \sqrt[2n+1]{x_n +1 } $

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy $ cho $2n +1 $ số dương ta có

$ \sqrt[2n+1]{x_n +1 } \ = \ \sqrt[2n+1]{\( x_n +1 \) 1...1} \ < \ \dfrac{x_n \ + \ 1 \ + \ 2n }{2n +1}$

$ \Rightarrow x_n < \dfrac{x_n}{2n+1} \ + \ 1$

$ \Rightarrow x_n \ < \ \dfrac{2n+1}{2n} $

Ta thu được bất đẳng thức kép : $1 \ < \ x_n \ < \dfrac{2n+1}{2n}$

Mà $\lim_{n \to \ + \infty} 1 \ = \ \lim_{n \to \ + \infty} \dfrac{2n +1}{2n} \ = \ 1 $

Nên theo định lý "giới hạn kẹp " ta có

$\lim_{n \to \ + \infty} x_n \ = \ 1 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 14-11-2008 - 11:46

[hongthaidhv]

Bài dãy số thì cũ rồi nhưng cũng khá hay

Chuyển phương trình về dạng : $f(x) \ = \ x^{2n+1} \ - \ x \ - \ 1 \ = \ 0$


Ta có $f(x)$ là hàm sơ cấp xác định trên $R$ nên liên tục trên $R$

mà $f(1) \ = \ -1 < 0$ và $\lim_{x \ \to \ + \infty}^{} f(x) \ = \ \ + \infty $

nên phương trình $f(x) \ = \ 0$ có nghiệm trên $(1 \ , \ + \infty \)$


$f'(x) \ = \ (2n+1)x^{2n} \ - \ 1 > 0$ với $x \ \geq \ 1$

$ \Rightarrow f(x)$ là hàm đơn điệu tặng trên $[1 \ , \ + \infty \)$

$ \Rightarrow $ phương trình $f(x) \ = \ 0$ có nghiệm duy nhất $x_n$ trên $(1 \ , \ \infty \)$

$ *$ với $0 \ \leq \ x \ < 1$ hay $x \ \leq \ -1$thì $x^{2n +1} \ -\ x \ = \ x \( x^{2n} \ - \ 1 \) \ \leq \ 0 $
$ \Rightarrow f(x) \ < \ 0$

$*$ với $-1 <x < 0$ thì $x \(x^{2n} -1 \) = \| x \(x^{2n} -1 \) \| = |x \( 1 \ - \ x^{2n} \)| \ < \ |x| \ < \ 1 \Rightarrow f(x) \ < \ 0 $

nên phương tình vô nghiệm trên $\( - \infty \ , \ 1 ]$

$ \Rightarrow $ phương trình $f(x) \ = \ 0$ có nghiệm duy nhất $x_n \forall n \in N^{*}$
Ta có $x^{2n+1}_n \ = \ x_n \ + \ 1$

$ \Rightarrow x_n \ = \ \sqrt[2n+1]{x_n +1 } $

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy $ cho $2n +1 $ số dương ta có

$ \sqrt[2n+1]{x_n +1 } \ = \ \sqrt[2n+1]{\( x_n +1 \) 1...1} \ < \ \dfrac{x_n \ + \ 1 \ + \ 2n }{2n +1}$

$ \Rightarrow x_n < \dfrac{x_n}{2n+1} \ + \ 1$

$ \Rightarrow x_n \ < \ \dfrac{2n+1}{2n} $

Ta thu được bất đẳng thức kép : $1 \ < \ x_n \ < \dfrac{2n+1}{2n}$

Mà $\lim_{n \to \ + \infty} 1 \ = \ \lim_{n \to \ + \infty} \dfrac{2n +1}{2n} \ = \ 1 $

Nên theo định lý "giới hạn kẹp " ta có

$\lim_{n \to \ + \infty} x_n \ = \ 1 $

Công nhận bài này tuy cũ (đây là lần đầu đc xem) nhưng em thấy nó rất hay, anh có bài nào tương tự ( dạng) thì post lên cho em nha, thanks anh nhiều

[hongthaidhv]

Em thấy bài phương trình hàm cũng khá hay : tìm hàm f: R--> R thỏa mản $f(x+y) =f(x) e^{ f(y) -1}$

Cho $y=0 => f(x)=0$ hoặc $f(0)=1$. Thấy $f(x)=0$ là nghiệm tầm thường của bài toán

Xét $f(0)=1$, cho $x=0, y=x => f(x) = e^{ f(x)-1}$

Xét hàm $g(t) = e^{t-1} -t => g'(t) =e^{t-1}-1$ , Lập bảng biến thiên ta có $g(t) \geq 0 => f(x) =x$

[hongthaidhv]

Sao topic này vắng thế, không ai tham gia à ( buồn quá ), theo em thấy thì đề thi của Thanh Hóa năm ni có mấy bài trông khá cũ. Bài 1 hình như em chổ trong quyển số của thầy PHK rùi ( hok nhớ rỏ)

[Harry Potter]

đề này các bài cũ quá >.M Bài 1là một tích chất rất quen thuộc mà khi học về Đông dư các bạn chịu khó tìm hiểu sẽ dễ dàng tìm thấy ở các tài liệu bài bất đẳng thức cuối thì cũng quá kinh điển ròi >.<

[dtdong91]

Bài BDT hình như là dùng Bunnhia thôi
bài số thì ta có gọi p là ước n/tố của F và $ d=org_p(3)$ => $ 2^{2^n}=d$(do $ 3^{\dfrac{f-1}{2}} +1 \vdots p$ =>$ p-1 \vdots 2^{2^n}$ => dpcm

[123455]

Bài BĐT cũng rất quen thuộc dùng dồn biến hoặc có thể thì p,q,r hoặc muốn ngắn hơn dùng pp ABC
Ra Max=10 khi x=y=2,z=-1 và hoán vị!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 123455: 22-09-2009 - 23:44