Cho n là số nguyên dương,n>1,tính
$\prod_{i=1}^{n-1} \sin \dfrac{i\pi }{n}$
#2
Đã gửi 29-11-2008 - 11:53
tanlsth
-
- Hiệp sỹ
-
- 1428 Bài viết
Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán
Do $cos(kt)+i.sin(kt)$ với $t=\dfrac{\pi}{n},k=1,..,2n$ là nghiệm của phương trình $x^{2n}=1$ nên ta có
$x^{2n}-1=(x^2-1)(x^2-2xcos(t)+1)..(x^2-2xcos(n-1)t+1)$
Lại có $\dfrac{x^{2n}-1}{x^2-1}=x^{2n-2}+x^{2n-4}+..+x^2+1 $
Cho $x \to 1$ và sử dụng $2-2cos\alpha=4sin^2\dfrac{\alpha}{2}$ ta có được $n=4^{n-1}sin^2(\dfrac{t}{2})sin^{2}(\dfrac{2t}{2})...sin^2(\dfrac{(n-1)t}{2})$
Suy ra $sin(\dfrac{t}{2})sin(\dfrac{2t}{2})...sin(\dfrac{(n-1)t}{2})=\dfrac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}$
Mặt khác $\dfrac{1}{2^{n-1}}sin(t).sin(2t)..sin(n-1)t=(sin (\dfrac{t}{2}).sin (\dfrac{2t}{2})...sin (\dfrac{(n-1)t}{2}))^2$ nên suy ra $sin(t).sin(2t)..sin(nt)=\dfrac{n}{2^{n-1}}$
$x^{2n}-1=(x^2-1)(x^2-2xcos(t)+1)..(x^2-2xcos(n-1)t+1)$
Lại có $\dfrac{x^{2n}-1}{x^2-1}=x^{2n-2}+x^{2n-4}+..+x^2+1 $
Cho $x \to 1$ và sử dụng $2-2cos\alpha=4sin^2\dfrac{\alpha}{2}$ ta có được $n=4^{n-1}sin^2(\dfrac{t}{2})sin^{2}(\dfrac{2t}{2})...sin^2(\dfrac{(n-1)t}{2})$
Suy ra $sin(\dfrac{t}{2})sin(\dfrac{2t}{2})...sin(\dfrac{(n-1)t}{2})=\dfrac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}$
Mặt khác $\dfrac{1}{2^{n-1}}sin(t).sin(2t)..sin(n-1)t=(sin (\dfrac{t}{2}).sin (\dfrac{2t}{2})...sin (\dfrac{(n-1)t}{2}))^2$ nên suy ra $sin(t).sin(2t)..sin(nt)=\dfrac{n}{2^{n-1}}$
Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
