Chủ đề này có 1 trả lời

[hunghien]

Tìm tất cả các hàm só $f: (0,+ \infty) \rightarrow (0,+\infty)$ thỏa mãn $(f(x))^2\geq f(x+y)(f(x)+y)$ với mọi x,y dương.
(Mong mọi người giúp đỡ trong bài toán này)

[tanlsth]

Từ giả thiết suy ra hàm $f$ giảm. Cố định $x$, cho $y \to +\infty$ ta có $f(x) \to 0$ khi $x \to +\infty$

Thay $y=f(x)$ vào ta có $f(x+f(x)) \leq \dfrac{f(x)}{2}$. Với $x_0$ bất kì, xây dựng dãy $x_{n+1}=x_n+f(x_n)$ suy ra $f(x_{n+1}) \leq \dfrac{f(x_n)}{2} \leq .. \leq \dfrac{f(x_0)}{2^{n+1}} \to 0$ khi $n$ lớn (1)

Lại có $x_{n+1}=x_n+f(x_n)=..=f(x_n)+f(x_{n-1})+..+f(x_0)+x_0 \leq f(x_0)(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+..+\dfrac{1}{2^n})+x_0 < 2f(x_0)+x_0$

Suy ra $f(x_{n+1})> f(x_0+2f(x_0))$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều vô lí. Vậy không tồn tại hàm thỏa mãn