Đến nội dung

Hình ảnh

Bài đơn giản

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 14 trả lời

#1
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1644 Bài viết

Bài Toán :

Cho $a , b ,c $ là $3 $ số thực dương tùy ý thỏa $a^{2} + b^{2}+ c^{2} = 3 $

Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức :

$ \dfrac{a^{2}}{b \ + \ c^{3} } \ + \ \dfrac{b^{2}}{c \ + \ a^{3} } \ + \ \dfrac{c^{2}}{a \ + \ b^{3} } \ \geq \ \dfrac{3}{2}$



Đẳng Thức Xảy ra khi nào ?

Xin lỗi mọi người về cái đề sai

Bài sửa lại có thể nói là rất khó




Yêu em

File gửi kèm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 26-11-2008 - 18:11

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#2
mai quoc thang

mai quoc thang

    Thắng yêu Dung

  • Thành viên
  • 251 Bài viết
bạn post thử cái lời giải bằng Cauchy ngược dấu lên cho mọi người xem với đc hok ???? :D

#3
inhtoan

inhtoan

    <^_^)

  • Thành viên
  • 964 Bài viết


Bài Toán :

Cho $a , b ,c $ là $3 $ số thực dương tùy ý

Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức :

$ \dfrac{a^{2}}{a^{2} \ + \ bc } \ + \ \dfrac{b^{2}}{b^{2} \ + \ ca } \ + \ \dfrac{c^{2}}{c^{2} \ + \ ab } \ \leq \ \dfrac{3}{2}$



Đẳng Thức Xảy ra khi nào ?

Yêu em

Em nghĩ sửa thế này mới đúng :D

#4
mai quoc thang

mai quoc thang

    Thắng yêu Dung

  • Thành viên
  • 251 Bài viết

* Bài của cu Lộc sai đề rùi ..... thử với $\ a=1 ; b=9 ; c=2 $ ;)

* Sửa như inhtoan cũng sai luôn ... thử với $\ a=1 ; b=0,9 ; c=0,99 $ ;)

* Và theo mình nên sửa thế này :

Cho a,b,c là các số thực dương . Chứng minh :

$\dfrac{a^2}{a^2+2bc}+\dfrac{b^2}{b^2+2ca}+\dfrac{c^2}{c^2+2ab} \geq 1 $



#5
inhtoan

inhtoan

    <^_^)

  • Thành viên
  • 964 Bài viết


* Sửa như inhtoan cũng sai luôn ... thử với $\ a=1 ; b=0,9 ; c=0,99 $ ;)

Sao em thử vào vẫn đúng,cách cm bdt của em sửa lại cũng không sai mà...?;)

#6
mai quoc thang

mai quoc thang

    Thắng yêu Dung

  • Thành viên
  • 251 Bài viết
đó là vì em bấm máy tính sai ;) ... thế a=1 ; b = 0,9 ; c= 0,99 vào bài em sửa ta có : 1,500122788 <=1,5 đấy ;)

#7
inhtoan

inhtoan

    <^_^)

  • Thành viên
  • 964 Bài viết

đó là vì em bấm máy tính sai ;) ... thế a=1 ; b = 0,9 ; c= 0,99 vào bài em sửa ta có : 1,500122788 <=1,5 đấy ;)

Hi,em tính nhầm.>_<

#8
duca1pbc

duca1pbc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 190 Bài viết

Bài Toán :

Cho $a , b ,c $ là $3 $ số thực dương tùy ý thỏa $a^{2} + b^{2}+ c^{2} = 3 $

Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức :

$ \dfrac{a^{2}}{b \ + \ c^{3} } \ + \ \dfrac{b^{2}}{c \ + \ a^{3} } \ + \ \dfrac{c^{2}}{a \ + \ b^{3} } \ \geq \ \dfrac{3}{2}$



Đẳng Thức Xảy ra khi nào ?

Xin lỗi mọi người về cái đề sai

Bài sửa lại có thể nói là rất khó


Yêu em



Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta đưa về c/m:
$a^2b+a^2c^3+b^2c+b^2a^3+c^2a+c^2b^3 \le 6 $
ta có: theo B.C.S $(b(a^2+b^2c^2)+c(b^2+c^2a^2)+a(c^2+a^2b^2))^2 \le (a^2+b^2+c^2)((a^2+b^2c^2)^2+(b^2+c^2a^2)^2+(c^2+a^2b^2)^2) $

Bây h ta chỉ cần cm: $(a+bc)^2+(b+ca)^2+(c+ab)^2 \le 12 $ với $a+b+c=3$
thật vậy,$VT=a^2+b^2+c^2+(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2+6abc=a^2+b^2+c^2+(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2+2abc(a+b+c)=9-2(ab+bc+ca)+(ab+bc+ca)^2 \le 12 $

This problem must be proved ;)

#9
Allnames

Allnames

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

$a^2b+a^2c^3+b^2c+b^2a^3+c^2a+c^2b^3 \le 6 $

Anh Đức giải hay lắm
Ta đã có $a^2c^3+b^2a^3+c^2b^3\le 3$
và$ (\sum a^2b)^2\le (\sum a^2b^2)(\sum a^2)\le \dfrac{(\sum a^2)^3}{3}$
Cái đầu rất nổi tiếng rồi (BĐT mà anh HÙng bảo phải dùng Lagrangre trong STBDT)
Cái sau theo BCS
Cộng lại ta được dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Allnames: 24-11-2008 - 17:23

Mọi người đều có một niềm tin và hãy giữ cho niềm tin ấy đươc sống mãi

#10
duca1pbc

duca1pbc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 190 Bài viết

Anh Đức giải hay lắm
Ta đã có $a^2c^3+b^2a^3+c^2b^3\le 3$
và$ (\sum a^2b)^2\le (\sum a^2b^2)(\sum a^2)\le \dfrac{(\sum a^2)^3}{3}$
Cái đầu rất nổi tiếng rồi (BĐT mà anh HÙng bảo phải dùng Lagrangre trong STBDT)
Cái sau theo BCS
Cộng lại ta được dpcm

À cái bđt đầu đó có chứng minh trong quyển BĐT Đại số của Vasc như sau:
Since the function$ f(t)=\sqrt{t}$ is concave,by Jensen,we get
$a^2c^3+b^2a^3+c^2b^3 \le (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2).\sqrt{\dfrac{a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}$
We still have to show that
$(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2) \le 9$
Write this inequality in the homogeneouss form:
$27(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2) \le (a^2+b^2+c^2)^5$
Suppose that$ x=min\{x,y,z}$.Setting $y=x+p,z=x+q (p,q \ge 0)$.This ineq becomes:

$27(p^2-pq+q^2)x^3+9Bx^2+3(p+q)Cx+D \ge 0$

Where
$B=4p^3-6p^2q+3pq^2+4q^3=(\dfrac{p}{2}-q)^2(7p+4q)+\dfrac{p^3}{4} \ge 0$
$C=(p-2q)^2(p+q)+6p(\dfrac{3p}{4}-q)^2+\dfrac{5p^3}{8}+q^3 \ge 0$
$D=(p+q)^5-27p^3q^2=(\dfrac{p}{3}+\dfrac{p}{3}+\dfrac{p}{3}+\dfrac{q}{2}+\dfrac{q}{2})^5-27p^3q^2 \ge (5\sqrt[5]{(\dfrac{p}{3})^3(\dfrac{q}{2})^2})^5-27p^3q^2 \ge 0$
This problem must be proved

Nguyên văn là như vậy ;).

Thực ra BĐT đầu là 1 bđt khá khó và fức tạp.Nhưng BĐT 2 lại khá dễ.Vì vậy việc gộp 2 bđt lại để chứng minh là dễ dàng hơn rất nhiều việc tách ra như vậy ;)

#11
Allnames

Allnames

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết
Cái đầu cm thế thì phức tạp rồi,dùng BCS và VasC ineq với pqr là xong,có 8 dòng thôi
Em cũng nói cách anh hay rồi nhưng cách đó chưa thấy được độ lỏng hay chặt của BDT,ngoài ra em nghĩ là cách em chính là con đường mà tác giả bài toán tìm ra ,nhưng cách anh đúng là rất hay(khen phát nữa ko thừa)
Mọi người đều có một niềm tin và hãy giữ cho niềm tin ấy đươc sống mãi

#12
duca1pbc

duca1pbc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 190 Bài viết

Cái đầu cm thế thì phức tạp rồi,dùng BCS và VasC ineq với pqr là xong,có 8 dòng thôi
Em cũng nói cách anh hay rồi nhưng cách đó chưa thấy được độ lỏng hay chặt của BDT,ngoài ra em nghĩ là cách em chính là con đường mà tác giả bài toán tìm ra ,nhưng cách anh đúng là rất hay(khen phát nữa ko thừa)

Anh nghĩ là khó tìm đc lời giải nào ngắn hơn để CM cái bđt 1 đó.Vì thực sự nó là 1 bđt khó,vừa ko đối xứng,vừa bậc cao,vừa chặt.Anh thấy Vasc chứng minh như thế là quá giỏi rồi.Nếu có cách khác thì chú em thử post lên để mọi người tham khảo đj ;)

#13
zaizai

zaizai

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Thành viên
  • 1380 Bài viết
cách mà Allnames nói nằm trong file toanhocmuonmaumain4.PDF của anh Cẩn đấy cu Đức :D Cauchy + Vasile's inequality + pqr technique = solution for this one :D
Tải lời giải ở file dưới...

Hình gửi kèm

  • loigiai.JPG


#14
duca1pbc

duca1pbc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 190 Bài viết
Ủa.Đến đó rồi sao nữa :22:

#15
Allnames

Allnames

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết
đặt vào pqr đi ạ,thêm 2 dòng nữa cho đủ tám ,bài tổng quát được đuclam giải bên ML nhưng em ko tím thấy link nữa
Mọi người đều có một niềm tin và hãy giữ cho niềm tin ấy đươc sống mãi




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh