Let K_0 be the first algebraic K-theory group, Z[x] be the polynomial ring over the integers. What is K_0(Z[x]) ?
Actually, I want to know if it is zero or not ?
Is there a short exact sequence to relate K_0(Z), K_0(Z[x,x^{-1}]) and K_0(Z[x]) ?
K_0(Z[x]) = ?
Bắt đầu bởi toanhoc, 03-12-2008 - 14:38
#2
Đã gửi 03-12-2008 - 17:02
Alexi Laiho
-
- Thành viên
-
- 299 Bài viết
Thượng sĩ
Cái này tầm thường. Nếu thích dùng fancy language thì đưa về étale cohomology, nhưng để trả lời đơn giản thì dùng đại số là đủ.
Thứ nhất $\mathbb{Z}[x,x^{-1}]$ là local ring (địa phương hóa tại maximal ideal (x)), nên mọi projective modules trên nó đều free, kết quả là $K_0 ( \mathbb{Z}[x,x^{-1}]) \simeq \mathbb{Z} $.
Tổng quát hơn, nếu R là 1 vành giao hoán có đơn vị, thì K_0(Rings) = K_0(Affine Schemes), vậy nên $K_0(\mathbb{Z}[ x ]) \simeq K_0(\mathbb{A}^1_{\mathbb{Z}}) \simeq \mathbb{Z} $.
Tổng quát hơn nữa, as we know, K_0 là $\mathbb{A}^1$-invariant (giống Chow groups), nên có thể lấy fiber product suy ra $K_0(\mathbb{Z}[ x_1,..., x_n ]) \simeq \mathbb{Z} $. Nói theo ngôn ngữ fancy của motives, thì hàm tử K_0 là 1 presheaf with transfer (see Voevodsky).
Thứ nhất $\mathbb{Z}[x,x^{-1}]$ là local ring (địa phương hóa tại maximal ideal (x)), nên mọi projective modules trên nó đều free, kết quả là $K_0 ( \mathbb{Z}[x,x^{-1}]) \simeq \mathbb{Z} $.
Tổng quát hơn, nếu R là 1 vành giao hoán có đơn vị, thì K_0(Rings) = K_0(Affine Schemes), vậy nên $K_0(\mathbb{Z}[ x ]) \simeq K_0(\mathbb{A}^1_{\mathbb{Z}}) \simeq \mathbb{Z} $.
Tổng quát hơn nữa, as we know, K_0 là $\mathbb{A}^1$-invariant (giống Chow groups), nên có thể lấy fiber product suy ra $K_0(\mathbb{Z}[ x_1,..., x_n ]) \simeq \mathbb{Z} $. Nói theo ngôn ngữ fancy của motives, thì hàm tử K_0 là 1 presheaf with transfer (see Voevodsky).
#3
Đã gửi 04-12-2008 - 05:06
toanhoc
-
- Thành viên
-
- 196 Bài viết
Trung sĩ
Cảm ơn Alexi. Như vậy f.g. projective are free. Hay ! Mà có thể có argument đơn giản hơn.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
